函数模型及其应用　·　历年高考数学真题与解析

3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 ，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者

4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 ，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 ，则至少需要志愿者

4) \times 0.1+(2+3) \times 0.4=2.5$ ，
方差为 $s_{A}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.1+(2-2.5)^{2} \times 0.4+(3-2.5)^{2} \times 0.4+(4-2.5)^{2} \times 0.1=0.65$ ；
对于 B 选项，该组数据的平均数为 $\overline{x_{B}}=(1+4) \times 0.4+(2+3) \times 0.1=2.5$ ，
方差为 $s_{B}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.4+(2-2.5)^{2} \times 0.1+(3-2.5)^{2} \times 0.1+(4-2.5)^{2} \times 0.4=1.85$ ；
对于 C 选项，该组数据的平均数为 $\overline{x_{C}}=(1+4) \times 0.2+(2+3) \times 0.3=2.5$ ，
方差为 $s_{C}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.2+(2-2.5)^{2} \times 0.3+(3-2.5)^{2} \times 0.3+(4-2.5)^{2} \times 0.2=1.05$ ；
对于 D 选项，该组数据的平均数为 $\overline{x_{D}}=(1+4) \times 0.3+(2+3) \times 0.2=2.5$ ，
方差为 $s_{D}^{2}=(1-2.5)^{2} \times 0.3+(2-2.5)^{2} \times 0.2+(3-2.5)^{2} \times 0.2+(4-2.5)^{2} \times 0.3=1.45$ ．
因此，B选项这一组的标准差最大．
故选：B．

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)\left(t\right.$ 的单位：天）的Logistic模型：$I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数．当 $I\left(t^{*}\right)=0.95 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（ ）（ $\ln 19 \approx 3$ ）

19．改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包

括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为 2012 年～2015 年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．

（数据来源于国家统计年鉴）
（1）计算 $A , B$ 的数据，并指出2012年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设 $t=1$ 表示 1978 年，第 $n$ 年卫生总费用与年份 $t$ 之间拟合函数
$f(t)=\frac{357876.6053}{1+e^{6.4420-0.1136 t}}$ ，
研究函数 $f(t)$ 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份．

19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元 ．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数。
（I）若 $\mathrm{n}=19$ ，求 y 与 x 的函数解析式；
（II）若要求＂需更换的易损零件数不大于 n ＂的频率不小于 0.5 ，求 n 的最小值；
（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 ，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？

19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 方损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进

了 130 t 该农产品．以 x （单位： $\mathrm{t}, ~ 100 \leq \mathrm{x} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（I）将 T 表示为 x 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率；
（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $\mathrm{x} \in$ ［100，110））则取 $\mathrm{x}=105$ ，且 $\mathrm{x}=105$ 的概率等于需求量落入［100，110）的频率，求 T 的数学期望．

19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 号损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以X（单位： $\mathrm{t}, 100 \leq \mathrm{X} \leq 150$ ）表示下一个销售季度内的市场需求量， T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（I）将 T 表示为 X 的函数；
（II）根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率．

18．（12分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（I）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n \in N$ ）的函数解析式．
（II）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

（i）假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率．