（20）（满分 12 分） 已知函数 f(x)= (x^…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。
（I）解：当 $a=0$ 时，$f(x)=x^{2} e^{x}, f^{\prime}(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x}$ ，故 $f^{\prime}①=3 e$ ．
所以曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的斜率为 $3 e$ ．
（II）解：$f^{\prime}(x)=\left[x^{2}+(a+2) x-2 a^{2}+4 a\right] e^{x}$ ．
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=-2 a$ ，或 $x=a-2$ ．由 $a \neq \frac{2}{3}$ 知，$-2 a \neq a-2$ ．
以下分两种情况讨论。
（1）若 $a>\frac{2}{3}$ ，则 $-2 a

所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2 a),(a-2,+\infty)$ 内是增函数，在 $(-2 a, a-2)$ 内是减函数．

函数 $f(x)$ 在 $x=-2 a$ 处取得极大值 $f(-2 a)$ ，且 $f(-2 a)=3 a e^{-2 a}$ ．
函数 $f(x)$ 在 $x=a-2$ 处取得极小值 $f(a-2)$ ，且 $f(a-2)=(4-3 a) e^{a-2}$ ．
②若 $a<\frac{2}{3}$ ，则 $-2 a>a-2$ ，当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x), ~ f(x)$ 的变化情况如下表：

所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, a-2),(-2 a,+\infty)$ 内是增函数，在 $(a-2,-2 a)$ 内是减函数。
函数 $f(x)$ 在 $x=a-2$ 处取得极大值 $f(a-2)$ ，且 $f(a-2)=(4-3 a) e^{a-2}$ ．
函数 $f(x)$ 在 $x=-2 a$ 处取得极小值 $f(-2 a)$ ，且 $f(-2 a)=3 a e^{-2 a}$ ．