2014_退役省自主命题 (2014·理)
16．已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．
(1) $-\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3} k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{12}+\frac{2}{3} k \pi(k \in Z)$; (2) $-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）$-\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3} k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{12}+\frac{2}{3} k \pi(k \in Z)$ ；②$-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
【解析】
试题分析：（1）将 $3 x+\frac{\pi}{4}$ 看作一个整体，根据正弦函数 $y=\sin x$ 的单调递增区间便可得 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$的单调递增区间。（2）将 $\frac{\alpha}{3}$ 代入 $f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ 得 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ 。求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和倍角公式化为单角 $\alpha$ 的三角函数得：
$\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{4}{5}(\cos \alpha-\sin \alpha)(\cos \alpha-\sin \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)$ ．注意这里不能将 $\sin \alpha+\cos \alpha$ 约了。接下来分 $\sin \alpha+\cos \alpha=0$ 和 $\sin \alpha+\cos \alpha \neq 0$ 两种情况求值．
试题解答：①$-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq 3 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi \Rightarrow-\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3} k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{12}+\frac{2}{3} k \pi(k \in Z)$ ；
②由题设得： $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，
即 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{4}{5}(\cos \alpha-\sin \alpha)(\cos \alpha-\sin \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)$ ，
若 $\sin \alpha+\cos \alpha=0$ ，则 $\cos \alpha-\sin \alpha=-\sqrt{2}$ ，
若 $\sin \alpha+\cos \alpha \neq 0$ ，则 $1=\frac{4}{5}(\cos \alpha-\sin \alpha)^{2} \Rightarrow \cos \alpha-\sin \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．
【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值．