2014_退役省自主命题 (2014·文)
20．（本小题满分 13 分）
如图，已知抛物线 $C: x^{2}=4 y$ ，过点 $M(0,2)$ 任作一直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线与直线 $A O$ 相交于点 $D$（ $O$ 为坐标原点）．
（1）证明：动点 $D$ 在定直线上；
（2）作 $C$ 的任意一条切线 $l$（不含 $x$ 轴）与直线 $y=2$ 相交于点 $N_{1}$ ，与（1）中的定直线相交于点 $N_{2}$ ，证明：$\left|M N_{2}\right|^{2}-\left|M N_{1}\right|^{2}$ 为定值，并求此定值．
【答案】（1）详见解析，（2） 8 ．
## 【解析】
试题分析：（1）证明动点 $D$ 在定直线上，实质是求动点 $D$ 的轨迹方程，本题解题思路为根据条件求出动点 $D$ 的坐标，进而探求动点 $D$ 轨迹：依题意可设 AB 方得为 $y=k+2$ ，代入 $x^{2}=4 y$ ，得 $x^{2}=4(k x+2)$ ，即 $x^{2}-4 k x-8=0$ ．设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则有：$x_{1} x_{2}=-s$ ，直线 $\therefore 0$ 的方程为 $y=\frac{y_{1}}{x_{1}} x ; ~ \mathrm{BD}$ 的方程为 $x=x_{2}$ ；解得交点 D 的坐标为 $\left(x_{2}, \frac{y_{1} x_{2}}{x_{1}}\right)$ ，注意到 $x_{1} x_{2}=-8$ 及 $x_{1}{ }^{2}=4 \therefore$ ，则有 $y=\frac{y_{1} x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}{ }^{2} x_{2}}{4 x_{1}}=\frac{x_{1} x_{2}}{4}=-2$ ，因此 D 点在定直线 $y=-2(x \neq 0)$ 上．（2）本题以算代征，从坷线方程出发，分别表示出 $N_{1}, N_{2}$ 的坐标，再化简 $M N_{2}{ }^{2}-M N_{1}{ }^{2}$ ．设切线 $l$ 的方程为 $y=a x+b(a \neq 0)$ ，代入 $x^{2}=4 y$ 得 $x^{2}=4(a x+b)$ ，即 $x^{2}-4 a x-4 b=0$ ，由 $\Delta=0$ 得 $(4 a)^{2}+16 b=0$ ，化简整理得 $b=-a^{2}$ ，故切线 $l$ 的方程可写为 $y=a x-a^{2}$ ，分别令 $y=2, y=-2$ 得 $N_{1}, N_{2}$ 的坐标为 $N_{1}\left(\frac{2}{a}+a, 2\right), N_{2}\left(-\frac{2}{a}+a,-2\right)$ ，则 $M N_{2}{ }^{2}-M N_{1}{ }^{2}=\left(\frac{2}{a}-a\right)^{2}+4^{2}-\left(\frac{2}{a}+a\right)^{2}=8$ ，即 $M N_{2}{ }^{2}-M N_{1}{ }^{2}$ 为定值 8 ．试题解析：（1）解：依题意可设 AB 方程为 $y=k x+2$, 代入 $x^{2}=+y$ ，得 $x^{2}=4(k x+2)$ ，即 $x^{2}-4 k x-8=0$ ．设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则有：$x_{1} x_{2}=-8$ ，克统 40 的方拄为 $y=\frac{v_{1}}{x_{1}} x ; ~ \mathrm{BD}$ 的方程为 $x=x_{2}$ ；解得交点 D 的坐标为 $\left(x_{2}, \frac{y_{1} x_{2}}{x_{1}}\right)$ ，注意到 $x_{1} x_{2}=-8$ 及 $x_{1}^{2}=4 y_{1}$ ，则有 $y=\frac{J_{1} x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}^{2} x_{2}}{4 x_{1}}=\frac{x_{1} x_{2}}{4}=-2$ ，因此 D 点在定直线 $y=-2(x \neq 0)$上．（2）依题设，切线 $l$ 的斜率存在且不等于零，设线 $l$ 的方程为 $y=a x+b(a \neq 0)$ ，代入 $x^{2}=4 y$ 得 $x^{2}=4(a x+b)$ ，即 $x^{2}-4 a x-4 b=0$ ，由 $\Delta=0$ 得 $(4 a)^{2}+16 b=0$ ，化简整理得 $b=-a^{2}$ ，故切线 $l$ 的方程可写为 $y=a x-a^{2}$ ，分别令 $y=2, y=-2$ 得 $N_{1}, N_{2}$ 的众标为 $N_{1}\left(\frac{2}{a}+a, 2\right), N_{2}\left(-\frac{2}{a}+a,-2\right)$ ，则
$M N_{2}^{2}-M N_{1}^{2}=\left(\frac{2}{a}-a\right)^{2}+4^{2}-\left(\frac{2}{a}+a\right)^{2}=8$ ，即 $M N_{2}^{2}-M N_{1}^{2}$ 为定值 8 。
考点：曲线的交点，曲线的切线方程