（20）（本小题满分 12 分） 已知，椭圆 C 过点 A…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：
（I）由题意， $\mathrm{c}=1$ ，可设椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{1+b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，
因为 $A$ 在椭圆上，所以 $\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{9}{4 b^{2}}=1$ ，解得 $b^{2}=3, b^{2}=-\frac{3}{4}$（舍去）
所以椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 。
（II）设直线 AE 方程为：$y=k(x-1)+\frac{3}{2}$ ，代入 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 得

$$ \left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+4 k(3-2 k) x+4\left(\frac{3}{2}-k\right)^{2}-12=0 $$

设 $E\left(\mathrm{x}_{E}, \mathrm{y}_{E}\right), F\left(\mathrm{x}_{F}, \mathrm{y}_{F}\right)$ ，因为点 $A\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆上，所以

$$ \begin{aligned} & x_{E}=\frac{4\left(\frac{3}{2}-k\right)^{2}-12}{3+4 k^{2}} \\ & y_{E}=k x_{E}+\frac{3}{2}-k \end{aligned} $$

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 $-k$ 代 $k$ ，可得

$$ \begin{aligned} & x_{F}=\frac{4\left(\frac{3}{2}+k\right)^{2}-12}{3+4 k^{2}} \\ & y_{F}=-k x_{F}+\frac{3}{2}+k \end{aligned} $$

所以直线 EF 的斜率 $k_{E F}=\frac{y_{F}-y_{E}}{x_{F}-x_{E}}=\frac{-k\left(x_{F}+x_{E}\right)+2 k}{x_{F}-x_{E}}=\frac{1}{2}$
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 $\frac{1}{2}$ 。