设函数 f(x)=a^ 2 x^ 2 +a x-3 ln…——2021 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$f(x)$ 的减区间为 $\left(0, \frac{1}{a}\right)$ ，增区间为 $\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$ ；②$a>\frac{1}{e}$ ．

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性．
（2）根据 $f(1)>0$ 及①的单调性性可得 $f(x)_{\min }>0$ ，从而可求 $a$ 的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为 $(0,+\infty)$ ，
又 $f^{\prime}(x)=\frac{(2 a x+3)(a x-1)}{x}$ ，

因为 $a>0, x>0$ ，故 $2 a x+3>0$ ，

当 $0<x<\frac{1}{a}$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；当 $x>\frac{1}{a}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
所以 $f(x)$ 的减区间为 $\left(0, \frac{1}{a}\right)$ ，增区间为 $\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$ ．
（2）因为 $f(1)=a^{2}+a+1>0$ 且 $y=f(x)$ 的图与 $x$ 轴没有公共点，
所以 $y=f(x)$ 的图象在 $x$ 轴的上方，
由①中函数的单调性可得 $f(x)_{\min }=f\left(\frac{1}{a}\right)=3-3 \ln \frac{1}{a}=3+3 \ln a$ ，
故 $3+3 \ln a>0$ 即 $a>\frac{1}{e}$ 。
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化．