（14分）给定数列 a _ 1 , a _ 2 , , a…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 8 M ：等差数列与等比数列的综合．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）当 $\mathrm{i}=1$ 时， $\mathrm{A}_{1}=3, \mathrm{~B}_{1}=1$ ，从而可求得 $\mathrm{d}_{1}$ ，同理可求得 $\mathrm{d}_{2}, \mathrm{~d}_{3}$ 的值；
（II）依题意，可知 $a_{n}=a_{1} q^{n-1}\left(a_{1}>0, q>1\right)$ ，由 $d_{k}=a_{k}-a_{k+1} \Rightarrow d_{k-1}=a_{k-1}-a_{k}(k \geqslant 2$ ），从而可证 $\frac{\mathrm{d}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{d}_{\mathrm{k}-1}}(\mathrm{k} \geqslant 2)$ 为定值。
（III）依题意， $0

【解答】解：（I ）当 $i=1$ 时，$A_{1}=3, B_{1}=1$ ，故 $d_{1}=A_{1}-B_{1}=2$ ，同理可求 $d_{2}=3$ ， $\mathrm{d}_{3}=6 ;$
（II）由 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}(n \geqslant 4)$ 是公比 $q$ 大于 1 的等比数列，且 $a_{1}>0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$

的通项为：$a_{n}=a_{1} q^{n-1}$ ，且为单调递增的数列。
于是当 $k=1,2, \ldots n-1$ 时，$d_{k}=A_{k}-B_{k}=a_{k}-a_{k+1}$ ，
进而当 $k=2,3, \ldots n-1$ 时，$\frac{d_{k}}{d_{k-1}}=\frac{a_{k}-a_{k+1}}{a_{k-1}-a_{k}}=\frac{a_{k}(1-q)}{a_{k-1}(1-q)}=q$ 为定值。
$\therefore \mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 是等比数列；
（III）设 d 为 $\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 的公差，
对 $1 \leqslant i \leqslant n-2$ ，因为 $B_{i} \leqslant B_{i+1}, d>0$ ，
所以 $A_{i+1}=B_{i+1}+d_{i+1} \geqslant B_{i}+d_{i}+d>B_{i}+d_{i}=A_{i}$ ，
又因为 $A_{i+1}=\max \left\{A_{i}, a_{i+1}\right\}$ ，所以 $a_{i+1}=A_{i+1}>A_{i} \geqslant a_{i}$ ．
从而 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 为递增数列。
因为 $A_{i}=a_{i}(i=1,2, \ldots n-1)$ ，
又因为 $B_{1}=A_{1}-d_{1}=a_{1}-d_{1}所以 $\mathrm{B}_{1}<\mathrm{a}_{1}<\mathrm{a}_{2}<\ldots<\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}$ ，
因此 $a_{n}=B_{1}$ ．
所以 $B_{1}=B_{2}=\ldots=B_{n-1}=a_{n}$ ．
所以 $a_{i}=A_{i}=B_{i}+d_{i}=a_{n}+d_{i}$ ，
因此对 $i=1,2, \ldots, n-2$ 都有 $a_{i+1}-a_{i}=d_{i+1}-d_{i}=d$ ，
即 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 是等差数列。
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．