2013 高考数学第 20 题答案解析

20．（14分）给定数列 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ．对 $\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}-1$ ，该数列前 i 项的最大值记为 $A_{i}$ ，后 $n-i$ 项 $a_{i+1}, a_{i+2}, \ldots, a_{n}$ 的最小值记为 $B_{i}, d_{i}=A_{i}-B_{i}$ ．
（I）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为3，4，7，1，写出 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 的值；
（II）设 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}(n \geqslant 4)$ 是公比大于 1 的等比数列，且 $a_{1}>0$ ．证明： $\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{~d}_{\mathrm{n}-1}$ 是等比数列；
（III）设 $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n-1}$ 是公差大于 0 的等差数列，且 $d_{1}>0$ ．证明：$a_{1}$ ， $a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ 是等差数列．