2015_退役省自主命题 (2015·理)
16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 ．个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（I）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（II）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望。
【答案】（I）$\frac{1}{2}$ ；（II）分布列见解析，期望为 $\frac{5}{2}$ ．
【解析】（I）设＂当天小王的该银行卡被锁定＂的事件为 A，
则 $P(\mathrm{~A})=\frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$
（II）依题意得， X 所有可能的取值是 $1,2,3$
又 $P(\mathrm{X}=1)=\frac{1}{6}, P(\mathrm{X}=2)=\frac{5}{6} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{6}, P(\mathrm{X}=3)=\frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times 1=\frac{2}{3}$ ．
所以 x 的分布列为
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| $p$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{2}{3}$ |
所以 $\mathrm{E}(\mathrm{X})=1^{\prime} \frac{1}{6}+2^{\prime} \frac{1}{6}+3^{\prime} \frac{2}{3}=\frac{5}{2}$ ．
【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．
【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有 $A_{5}^{3}$ 种，而基本事件总数为 $A_{6}^{3}$ ，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可。确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，
做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为 1 ，以便及时矫正。