2016_北京卷 (2016·理)
16．（13 分）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
| A 班 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B 班 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| C 班 | 3 | 4.5 | 6 | 7.5 | 9 | 10.5 | 12 | 13.5 |
（I）试估计 C 班的学生人数；
（II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7， 9， 8.25 （单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 $\mu_{1}$ ，表格中数据的平均数记为 $\mu_{0}$ ，试判断 $\mu_{0}$ 和 $\mu_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）
【考点】BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；CB：古典概型及其概率计算公式。
【专题】11：计算题；40：定义法；51：概率与统计．
【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计 C 班的学生人数；
（II）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）根据平均数的定义，可判断出 $\mu_{0}>\mu_{1}$ ．
【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取 20 个学生，其中 C 班抽取 8 个，故抽样比 $\mathrm{K}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$ ，
故 C 班有学生 $8 \div \frac{1}{5}=40$ 人，
（II）从从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，
共有 $5 \times 8=40$ 种情况，
而且这些情况是等可能发生的，
当甲锻炼时间为 6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 2 种情况；
当甲锻炼时间为 6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况；
当甲锻炼时间为 7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况；
当甲锻炼时间为 7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况；
当甲锻炼时间为 8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4 种情况；
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 $\mathrm{P}=\frac{2+3+3+3+4}{40}=\frac{3}{8}$ ；
（III）$\mu_{0}>\mu_{1}$ ．
【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档。