2012 高考数学第 19 题答案解析

19．（本小题满分 14 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n}=a_{n+1}-2^{n+1}+1, n \in N^{*}$ ，且 $a_{1}, a_{2}+5, a_{3}$ 成等差数列。
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．