2014_退役省自主命题 (2014·理)
17．（本小题满分 13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： $30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36$ ，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
| 分组 | 频数 | 频率 |
|---|---|---|
| $[25,30]$ | 3 | 0.12 |
| $(30,35]$ | 5 | 0.20 |
| $(35,40]$ | 8 | 0.32 |
| $(40,45]$ | $n_{1}$ | $f_{1}$ |
| $(45,50]$ | $n_{2}$ | $f_{2}$ |
（1）确定样本频率分布表中 $n_{1}, n_{2}, f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30,35 ］的概率。
【解答】
（13分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： $30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36$ ．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
| 分组 | 频数 | 频率 |
|---|---|---|
| ［25，30］ | 3 | 0． 12 |
| $(30,35]$ | 5 | 0． 20 |
| （35，40］ | 8 | 0． 32 |
| $(40,45]$ | $n_{1}$ | $f_{1}$ |
| $(45,50]$ | $n_{2}$ | $f_{2}$ |
（1）确定样本频率分布表中 $n_{1}, n_{2}, f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30 ， 50］的概率。
【解答】
解：（1）$n_{1}=7, n_{2}=2, f_{1}=0.28, f_{2}=0.08$ ；
（2）样本频率分布直方图为
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（ 30,35 ］的概率 0.2 ，设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间 $(30,35]$ 的人数为 $\xi$ ，则 $\xi \sim B(4,0.2)$ ，
$P(\xi \geq 1)=1-P(\xi=0)=1-(1-0.2)^{4}=1-0.4096=0.5904$,
所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 $(30,50]$ 的概率约为 0.5904 ．