2010_北京卷 (2010·理)
13．（5分）（2010•北京）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 2 ，焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(4,0),(-4,0)$ ；渐近线方程为 $\_\_\_\_$ $y= \pm \sqrt{3} x$ 。
$(4,0),(-4,0) ; \mathrm{y}= \pm \sqrt{3} \mathrm{x}$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的 c 值，再由离心率求出 a 的值，最后根据 $\mathrm{b}=\sqrt{\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}}$ 得到 b 的值，可得到渐近线的方程。
【解答】解：∵ 随圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{25}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{9}=1$ 的焦点为 $(4,0)(-4,0)$ ，故双曲线中的 $\mathrm{c}=4$ ，且满足 $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} =2$ ，故 $\mathrm{a}=2$ ，
$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=2 \sqrt{3}$ ，所以双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x= \pm \sqrt{3} x$
故答案为：$(4,0),(-4,0) ; \mathrm{y}= \pm \sqrt{3} \mathrm{x}$
【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查。