（5 分）（2008 • 山东）4．设椭圆 C _ 1 的…——2008 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
（5 分）（2008－山东）4．设椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的离心率为 $\frac{5}{13}$ ，焦点在 x 轴上且长轴长为 26 ，若曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 上的点到椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8 ，则曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的标准方程为
A．$\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$
B．$\frac{x^{2}}{13^{2}}-\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$
C．$\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{4^{2}}=1$
D．$\frac{x^{2}}{13^{2}}-\frac{y^{2}}{12^{2}}=1$

【分析】在椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 中，由题设条件能够得到 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=13 \\ \mathrm{c}=5\end{array}\right.$ ，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 是以 $\mathrm{F}_{1}(-5,0), \mathrm{F}_{2}(5$ ， $0)$ ，为焦点，实轴长为 8 的双曲线，由此可求出曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的标准方程．
【解答】解：在椭圆 $C_{1}$ 中，由 $\left\{\begin{array}{l}2 a=26 \\ \frac{c}{a}=\frac{5}{13}\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}a=13 \\ c=5\end{array}\right.$
椭圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的焦点为 $\mathrm{F}_{1}(-5,0), \mathrm{F}_{2}(5,0)$ ，
曲线 $C_{2}$ 是以 $F_{1} , F_{2}$ 为焦点，实轴长为 8 的双曲线，
故 $\mathrm{C}_{2}$ 的标准方程为：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{4^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{3^{2}}=1$ ，
故选 A．