（5分）若数列 a_ n 的前 n 项和为 S _ n =…——2013 高考数学第 14 题答案解析

【考点】88：等比数列的通项公式．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】把 $n=1$ 代入已知式子可得数列的首项，由 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ ，可得数列为等比数列，且公比为 -2 ，代入等比数列的通项公式分段可得答案。
【解答】解：当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}=\frac{2}{3} a_{1}+\frac{1}{3}$ ，解得 $a_{1}=1$
当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(\frac{2}{3} a_{n}+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{2}{3} a_{n-1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} a_{n}-\frac{2}{3} a_{n-1}$ ，
整理可得 $\frac{1}{3} a_{n}=-\frac{2}{3} a_{n-1}$ ，即 $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=-2$ ，
故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 从第二项开始是以 -2 为首项，-2 为公比的等比数列，
故当 $n \geq 2$ 时，$\quad a_{n}=(-2)^{n-1}$ ，
经验证当 $n=1$ 时，上式也适合，
故答案为：$(-2)^{n-1}$
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．