2018 浙江卷 数学　·　真题与答案解析

1．（4 分）已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}, A=\{1,3\}$ ，则 $C_{\cup} A=$（）

2．（4 分）双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的焦点坐标是（ ）

3．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： $\mathrm{cm}^{3}$ ）是  正视图  侧视图  俯视图

4．（4分）复数 $\frac{2}{1-\mathrm{i}}$（ i 为虚数单位）的共轭复数是

5．（4 分）函数 $y=2^{|x|} \sin 2 x$ 的图象可能是

6．（4 分）已知平面 $\alpha$ ，直线 $m, n$ 满足 $m \not \subset \alpha, n \subset \alpha$ ，则＂$m / / n$＂是＂$m / / \alpha$＂的（）

7．（4 分）设 $0<p<1$ ，随机变量 $\xi$ 的分布列是 | $\xi$ | 0 | 1 | 2 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\frac{1-p}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{p}{2}$ | 则当 $p$ 在 $(0,1)$ 内增大时，（ ）

8．（4分）已知四棱锥 $S-A B C D$ 的底面是正方形，侧棱长均相等，$E$ 是线段 $A B$上的点（不含端点）。设 $S E$ 与 $B C$ 所成的角为 $\theta_{1}$ ，$S E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\theta_{2}$ ，二面角 $\mathrm{S}-\mathrm{AB}-\mathrm{C}$ 的平面角为 $\theta_{3}$ ，则（）

9．（4分）已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 是平面向量，$\vec{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}-4 \overrightarrow{\mathrm{e}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+3=0$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ 的最小值是（）

10．（4分）已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\ln \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$ ，若 $a_{1}>1$ ，则（ ）

11．（6 分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：＂今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？＂设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 $x, y, z$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=100 \\ 5 x+3 y+\frac{1}{3} z=100\end{array}\right.$ ，当 $z=81$ 时，$x=8, y=11$ 。

12．（6 分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0 \\ 2 x+y \leqslant 6 \\ x+y \geqslant 2\end{array}\right.$ 则 $z=x+3 y$ 的最小值是 -2 ，最大值是 $\_\_\_\_$ 8 ．

13．（6 分）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．若 $a=\sqrt{7}, b=2$ ， $\mathrm{A}=60^{\circ}$ ，则 $\sin \mathrm{B}=-\frac{\sqrt{21}}{7}-\mathrm{c}=3$ ．

14．（4 分）二项式 $\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{2 x}\right)^{8}$ 的展开式的常数项是 $\_\_\_\_$ 7 ．

15．（6 分）已知 $\lambda \in R$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-4, x \geqslant \lambda \\ x^{2}-4 x+3, x<\lambda\end{array}\right.$ ，当 $\lambda=2$ 时，不等式 $f(x) <0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $\{x \mid 1<x<4\}$ ．若函数 $f(x)$ 恰有 2 个零点，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $(1,3] \cup(4,+\infty)$。

16．（4分）从1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 $0,2,4,6$ 中任取 2 个数字，一共可以组成 $\_\_\_\_$ 1260个没有重复数字的四位数。（用数字作答）

17．（4 分）已知点 $P(0,1)$ ，椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=m(m>1)$ 上两点 $A, B$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} =2 \overrightarrow{\mathrm{~PB}}$ ，则当 $\mathrm{m}=5$ 时，点 B 横坐标的绝对值最大．

18．（14 分）已知角 $\alpha$ 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$ ． （I）求 $\sin (\alpha+\pi)$ 的值； （II）若角 $\beta$ 满足 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{5}{13}$ ，求 $\cos \beta$ 的值．

19．（15分）如图，已知多面体 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C$ ， $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}, \mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}=4, \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}=1, \quad \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}=2$. （ I ）证明：$A B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ； （II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成的角的正弦值． 

20．（15分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>1$ ，且 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=28, a_{4}+2$ 是 $a_{3}, a_{5}$ 的等差中项．数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=1$ ，数列 $\left\{\left(b_{n+1}-b_{n}\right) a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $2 n^{2}+n$ ． （I）求 q 的值； （II）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

21．（15 分）如图，已知点 $P$ 是 $y$ 轴左侧（不含 $y$ 轴）一点，抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 上存在不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 满足 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的中点均在 C 上。 （ I ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴； （II）若 $P$ 是半椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad(x<0)$ 上的动点，求 $\triangle P A B$ 面积的取值范围． 

22．（15分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\ln \mathrm{x}$ ． （I）若 $f(x)$ 在 $x=x_{1}, x_{2}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 处导数相等，证明：$f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>$ 8－8ln2； （II）若 $\mathrm{a} \leqslant 3-4 \ln 2$ ，证明：对于任意 $\mathrm{k}>0$ ，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{a}$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有唯一公共点．