已知函数 f(x)= a x (x+r)^ 2 (a>0,…——2015 高考数学第 6 题答案解析

【答案】（I）迷增区间是 $(-r, r)$ ，速减区间为 $(-\infty,-r)$ 和 $(r,+\infty)$ ；（II）极大值为 100 ；无极小值．
【解析】（I）由题意可知 $x \neq-r$ 所求的定义域为 $(-\infty,-r) \cup(-r,+\infty)$ ．
$f(x)=\frac{a x}{(x+r)^{2}}=\frac{a x}{x^{2}+2 x r+r^{2}}$,
$f^{\prime}(x)=\frac{a\left(x^{2}+2 x r+r^{2}\right)-a x(2 x+2 r)}{\left(x^{2}+2 x r+r^{2}\right)^{2}}=\frac{a(r-x)(x+r)}{(x+r)^{4}}$
所以当 $x<-r$ 或 $x>r$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，当 $-r<x<r$ 时，$f^{\prime}(x)>0$
因此，$f(x)$ 单调速减区间为 $(-\infty,-r),(r,+\infty) ; \quad f(x)$ 的单调迷增区间为 $(-r, r)$ ．
（II）由（I）的解答可知 $f^{\prime}(r)=0 \quad f(x)$ 在 $(0, r)$ 上单调递增，在 $(r,+\infty)$ 上单调迷减。
因此 $x=r$ 是 $f(x)$ 的极大值点，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的极大值为 $f(r)=\frac{a r}{(2 r)^{2}}=\frac{a}{4 r}=\frac{400}{4}=100$ ， $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内无极小值；

综上，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内极大值为 100 ，无极小值．
【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识。
【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二弞式，在求 $f^{\prime}(x)>0$ 和 $f^{\prime}(x)<0$ 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力。