（5分）椭圆C： x^ 2 4 + y^ 2 3 =1 的…——2013 高考数学第 8 题答案解析

【考点】 I 3 ：直线的斜率； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆C：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 可知其左顶点 $A_{1}(-2,0)$ ，右顶点 $A_{2}(2,0)$ －设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq \pm 2\right)$ ，代入椭圆方程可得 $\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$ ．利用斜率计算公式可得 $k_{\mathrm{PA}_{1}} \cdot k_{\mathrm{PA}_{2}}$ ，再利用已知给出的 $k_{\mathrm{PA}_{1}}$ 的范围即可解出。

【解答】解：由椭圆C：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 可知其左顶点 $A_{1}(-2,0)$ ，右顶点 $A_{2}(2$ ， 0）．
设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq \pm 2\right)$ ，则 $\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$ ，得 $\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$ ．
$\because k_{\mathrm{PA}_{2}}=\frac{\mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}-2}, k_{\mathrm{PA}_{1}}=\frac{\mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}+2}$,
$\therefore \mathrm{k}_{\mathrm{PA}_{1}} \cdot \mathrm{k}_{\mathrm{PA}_{2}}=\frac{\mathrm{y}_{0}^{2}}{\mathrm{x}_{0}^{2}-4}=-\frac{3}{4}$ ，
$\because-2 \leqslant k_{\mathrm{PA}_{2}} \leqslant-1$,

$\therefore-2 \leqslant-\frac{3}{4 k_{\mathrm{PA}_{1}}} \leqslant-1$ ，解得 $\frac{3}{8} \leqslant k_{\mathrm{PA}_{1}} \leqslant \frac{3}{4}$ ．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．