【解答】
（13分）（2013．山东）椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1 ~(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的左右焦点分别是 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $\mathrm{F}_{1}$ 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 ．
①求椭圆 C 的方程；
②点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 $\mathrm{PF}_{1}, ~ \mathrm{PF}_{2}$ ，设 $\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 $\mathrm{M}(\mathrm{m}, ~ 0)$ ，求 m 的取值范围；
③在（2）的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 1 ，使得 I 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 $\mathrm{PF}_{1}, ~ \mathrm{PF}_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k \neq 0$ ，试证明 $\frac{1}{k k_{1}}+\frac{1}{k k_{2}}$ 为定值，并求出这个定值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）把 $-c$ 代入椭圆方程得 $\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，解得 $y= \pm \frac{b^{2}}{a}$ ，由已知过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为1，可得 $\frac{2 b^{2}}{a}=1$ ．再利用 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，及 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 即可得出；
②设 $\left|P F_{1}\right|=t,\left|P F_{2}\right|=n$ ，由角平分线的性质可得 $\frac{t}{n}=\frac{\left|M F_{1}\right|}{\left|F_{2} M\right|}=\frac{m+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-m}$ ，利用椭圆的定义可得 $t+n=2 a=4$ ，消去 t 得到 $\frac{4-\mathrm{n}}{\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{3}+\mathrm{m}}{\sqrt{3}-\pi}$ ，化为 $\mathrm{n}=\frac{2(\sqrt{3}-\mathrm{m})}{\sqrt{3}}$ ，再根据 $\mathrm{a}-\mathrm{c}<\mathrm{n}<\mathrm{a}+\mathrm{c}$ ，即可得到 m 的取值范围；
③设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，不妨设 $\mathrm{y}_{0}>0$ ，由椭圆方程 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$, 取 $\mathrm{y}=\sqrt{1-\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}}$ ，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到 $k_{1}, k_{2}$ ，代入即可证明结论．
解答：
解：（1）把 -c 代入椭圆方程得 $\frac{\mathrm{c}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1$ ，解得 $\mathrm{y}= \pm \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}}$ ，
∵ 过 $\mathrm{F}_{1}$ 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 $1, \therefore \frac{2 \mathrm{~b}^{2}}{\mathrm{a}}=1$ ．
又 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，联立得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{2 b^{2}}{a}=1 \\ a^{2}=b^{2}+c^{2} \text { 解得 } \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\left\{\begin{array}{l}a=2, b=1 \\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.\right.$ ，
∴ 椭圆 C 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$ ．
（2）如图所示，设 $\left|P F_{1}\right|=t,\left|P F_{2}\right|=n$ ，
由角平分线的性质可得 $\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{n}}=\frac{\left|\mathrm{M} \mathrm{F}_{1}\right|}{\left|\mathrm{F}_{2} \mathrm{M}\right|}=\frac{\mathrm{m}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\mathrm{m}}$ ，
又 $t+n=2 a=4$ ，消去 $t$ 得到 $\frac{4-n}{n}=\frac{\sqrt{3}+m}{\sqrt{3}-\pi}$ ，化为 $n=\frac{2(\sqrt{3}-m)}{\sqrt{3}}$ ，
$\because \mathrm{a}-\mathrm{c}<\mathrm{n}<\mathrm{a}+\mathrm{c}$ ，即 $2-\sqrt{3}<\mathrm{n}<2+\sqrt{3}$ ，也即 $2-\sqrt{3}<\frac{2(\sqrt{3}-\mathrm{m})}{\sqrt{3}}<2+\sqrt{3}$ ，解得 $-\frac{3}{2}<\mathrm{m}<\frac{3}{2}$ ．
$\therefore \mathrm{m}$ 的取值范围；$\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ．
（3）证明：设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，
不妨设 $\mathrm{y}_{0}>0$ ，由椭圆方程 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\mathrm{y}^{2}=1$ ，
取 $y=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ ，则 $y^{\prime}=\frac{-\frac{2 x}{4}}{2 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}}=-\frac{x}{4 \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}}$ ，
$\therefore \mathrm{k}=\mathrm{k}_{1}=-\frac{\mathrm{x}_{0}}{4 \sqrt{1-\frac{\mathrm{x}_{0}^{2}}{4}}}=-\frac{\mathrm{x}_{0}}{4 \mathrm{y}_{0}}$ ．
$\because_{1}=\frac{\mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}+\sqrt{3}}, \mathrm{k}_{2}=\frac{\mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}-\sqrt{3}}$,
$\therefore \frac{1}{\mathrm{k}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{k}_{2}}=\frac{2 \mathrm{x}_{0}}{\mathrm{y}_{0}}$,
$\therefore \frac{1}{\mathrm{kk}_{1}}+\frac{1}{\mathrm{kk}_{2}}=-\frac{4 \mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}} \times \frac{2 \mathrm{x}_{0}}{\mathrm{y}_{0}}=-8$ 为定值。
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力。