（12分）设 A， B 为曲线 C: y= x^ 2 4…——2017 高考数学第 20 题答案解析

【考点】13：直线的斜率；$K N$ ：直线与抛物线的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。

【分析】①设 $A\left(x_{1}, \frac{x_{1}{ }^{2}}{4}\right), B\left(x_{2}, \frac{x_{2}{ }^{2}}{4}\right)$ ，运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；
②设 $M\left(m, \frac{m^{2}}{4}\right)$ ，求出 $y=\frac{x^{2}}{4}$ 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得 m ，即有 M 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为 -1 ，可得 $x_{1}, x_{2}$ 的关系式，再由直线 $A B: y=x+t$ 与 $y=\frac{x^{2}}{4}$ 联立，运用韦达定理，即可得到 t 的方程，解得 t 的值，即可得到所求直线方程．

【解答】解：（1）设 $A\left(x_{1}, \frac{x_{1}{ }^{2}}{4}\right), B\left(x_{2}, \frac{x_{2}{ }^{2}}{4}\right)$ 为曲线C：$y=\frac{x^{2}}{4}$ 上两点，
则直线 $A B$ 的斜率为 $k=\frac{\frac{x_{1}{ }^{2}}{4}-\frac{x_{2}{ }^{2}}{4}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{1}{4}\left(x_{1}+x_{2}\right)=\frac{1}{4} \times 4=1$ ；
②设直线 $A B$ 的方程为 $y=x+t$ ，代入曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ ，
可得 $x^{2}-4 x-4 t=0$ ，即有 $x_{1}+x_{2}=4, x_{1} x_{2}=-4 t$ ，
再由 $y=\frac{x^{2}}{4}$ 的导数为 $y^{\prime}=\frac{1}{2} x$ ，
设 $M\left(m, \frac{m^{2}}{4}\right)$ ，可得 $M$ 处切线的斜率为 $\frac{1}{2} m$ ，
由 $C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，可得 $\frac{1}{2} m=1$ ，
解得 $m=2$ ，即 $M(2,1)$ ，
由 $A M \perp B M$ 可得，$k_{A M} \bullet k_{B M}=-1$ ，
即为 $\frac{\frac{x_{1}{ }^{2}}{4}-1}{x_{1}-2} \cdot \frac{x_{2}{ }^{2}}{\frac{4}{x_{2}-2}-1}=-1$ ，
化为 $x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)+20=0$ ，
即为 $-4 t+8+20=0$ ，
解得 $\mathrm{t}=7$ ．
则直线 $A B$ 的方程为 $y=x+7$ ．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力 ，属于中档题．