（5分）已知双曲线C： x^ 2 a^ 2 - y^ 2…——2009 高考数学第 11 题答案解析

【考点】13：直线的斜率； KA ：双曲线的定义．

【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设双曲线的有准线为 I ，过 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 分别作 $\mathrm{AM} \perp \mathrm{I}$ 于 $\mathrm{M}, ~ \mathrm{BN} \perp \mathrm{I}$ 于 $\mathrm{N}, ~ \mathrm{BD} \perp \mathrm{AM}$于 D ，由直线 AB 的斜率可知直线 AB 的倾斜角，进而推 $|\mathrm{AD}|=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ ，由双曲线的第二定义 $|A M|-|B N|=|A D|$ ，进而根据 $\overline{A F}=4 \overline{F B}$ ，求得离心率．

【解答】解：设双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右准线为 1 ，
过 $A$ 、 $B$ 分别作 $A M \perp I$ 于 $M, B N \perp I$ 于 $N, B D \perp A M$ 于 $D$ ，
由直线 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，
知直线 $A B$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}$
$|\mathrm{AD}|=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ ，
由双曲线的第二定义有：
$|\mathrm{AM}|-|\mathrm{BN}|=|\mathrm{AD}|=\frac{1}{\mathrm{e}}(|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|-|\overrightarrow{\mathrm{FB}}|)$
$=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|+|\overrightarrow{\mathrm{FB}}|)$
$\therefore \frac{1}{\mathrm{e}} \cdot 3|\overrightarrow{\mathrm{FB}}|=\frac{5}{2}|\overrightarrow{\mathrm{FB}}|, \quad \therefore \mathrm{e}=\frac{6}{5}$
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．