关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有 ①存在在R…——2025 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
②③

【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.

【解析】对于①，若存在R上的增函数f(x)，满足 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$

则 $f ( 0 ) + f ( 2 \times 0 ) = - 0$ 即 $f ( 0 ) = 0$

故 $x > 0$ 时， $f ( 4 x ) > f ( 2 x ) > f ( x ) > 0$ ,故 $f ( 4 x ) + f ( 2 x ) > f ( x ) + f ( 2 x )$

故 $- 2 x > - x$ 即 $x < 0$ ，矛盾，故①错误；

对于②，取 $f ( x ) = - { \frac { 1 } { 3 } } x$ ，该函数为R上的减函数且 $f ( x ) + f ( 2 x ) = - x$

故该函数符合，故②正确；

对于③，取 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { c o s } x + m x , m \in R$

此时 $f ( x ) + f ( - x ) = \cos x$ ,由 $m \in R$ 可得f(x)有无穷多个，

故③正确；

对于④，若存在f(x)，使得 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$

区 $x = 0$ ,则 $0 { = } \mathrm { c o s 0 }$ ,但 $\mathrm { c o s 0 = 1 }$ ,矛盾，

故满足 $f ( x ) - f ( - x ) = \cos x$ 的函数不存在，故④错误.

故答案为：②③