（5分）设 A, B 是椭圆 C: x^ 2 3 + y^…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足 $\angle A M B=120^{\circ}, \angle A M B \geq 120^{\circ}, \angle \mathrm{AMO} \geq 60^{\circ}$ ，当假设椭圆的焦点在 x 轴上， $\tan \angle \mathrm{AMO}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{~m}}} \geq \tan 60^{\circ}$ ，当即可求得椭圆的焦点在 y 轴上时， $\mathrm{m}>3, \tan \angle \mathrm{AMO}=\frac{\sqrt{\mathrm{m}}}{\sqrt{3}} \geq \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ，即可求得 m 的取值范围。

【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 $0<\mathrm{m}<3$ 时，
设椭圆的方程为：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，设 $A(-a, 0), B(a, 0), M(x$ ，y），$y>0$ ，

则 $a^{2}-x^{2}=\frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}}$ ，
$\angle \mathrm{MAB}=\alpha, \quad \angle \mathrm{MBA}=\beta, \quad \angle \mathrm{AMB}=\gamma, \tan \alpha=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}, \tan \beta=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}-\mathrm{x}}$,
则 $\tan \gamma=\tan [\pi-(\alpha+\beta)]=-\tan (\alpha+\beta)=-\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=-\frac{2 a y}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}=-$

$$ \frac{2 a y}{\frac{a^{2} y^{2}}{b^{2}}-y^{2}}=-\frac{2 a b^{2}}{y\left(a^{2}-b^{2}\right)}=-\frac{2 a b^{2}}{c^{2} y}, $$

$\therefore \tan \gamma=-\frac{2 a b^{2}}{c^{2} y}$ ，当 $y$ 最大时，即 $y=b$ 时，$\angle A M B$ 取最大值，
$\therefore M$ 位于短轴的端点时，$\angle A M B$ 取最大值，要使椭圆 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle A M B=120^{\circ}$
$\angle \mathrm{AMB} \geq 120^{\circ}, \quad \angle \mathrm{AMO} \geq 60^{\circ}, \quad \tan \angle \mathrm{AMO}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\mathrm{~m}}} \geq \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ，
解得： $0

当椭圆的焦点在 $y$ 轴上时，$m>3$ ，
当 $M$ 位于短轴的端点时，$\angle A M B$ 取最大值，要使椭圆 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle A M B=120 { }^{\circ}$ ，

$\angle A M B \geq 120^{\circ}, \quad \angle A M O \geq 60^{\circ}, \tan \angle A M O=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}} \geq \tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ，解得：$m \geq 9$ ，
$\therefore \mathrm{m}$ 的取值范围是 $(0,1] \cup[9,+\infty)$
故选A．

故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．