2009_退役省自主命题 (2009·文)
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，椭圆 G 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 12 。圆 $C_{k}: x^{2}+y^{2}+2 k y-4 y-21=0(k \in R)$ 的圆心为点 $A_{k}$ 。
（1）求椭圆 G 的方程；
（2）求 $\Delta A_{k} F_{1} F_{2}$ 面积；
（3）问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 G ？请说明理由。
【解答】
（14分）（ $2009 \cdot$ 广东）已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，两个焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}$ 和 $\mathrm{F}_{2}$ ，椭圆 G 上一点到 $\mathrm{F}_{1}$ 和 $\mathrm{F}_{2}$ 的距离之和为 12 ．圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{kx}-4 \mathrm{y}-2 1=0$（ $k \in R$ ）的圆心为点 $A_{k}$ 。
（1）求椭圆 G 的方程
（2）求 $\triangle \mathrm{A}_{\mathrm{k}} \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 的面积
（3）问是否存在圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$ 包围椭圆 G ？请说明理由．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）先设椭圆的标准方程，然后由椭圆定义知，椭圆 G 上一点到 $\mathrm{F}_{1} , \mathrm{~F}_{2}$ 的距离之和为 12 ，即 $2 \mathrm{a}=12$ ，求得 a ，再根据离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求得 c ，最后利用椭圆中 $\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}$ 求得 b ，则椭圆 G 的方程解决。
（2）先通过圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+2 \mathrm{kx}-4 \mathrm{y}-21=0 ~(\mathrm{k} \in \mathrm{R}) ~$ 表示出其圆心 $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$ 的坐标，则其纵坐标 2 为 $\triangle \mathrm{A}_{\mathrm{k}} \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 的高，而 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 的长度为焦距 2 c ，所以代入三角形面积公式问题解决。
（3）先对 k 进行分类，再利用特殊点（即椭圆的左右两个顶点）可判定不论 k 为何值圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$ 都不能包围椭圆G．
【解答】解：（1）设栯圆 $G$ 的方程为：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，半焦距为 $c$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}2 a=12 \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ c=3 \sqrt{3}\end{array}\right.$ ，
$\therefore \mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}=36-27=9$
所以椭圆 G 的方程为：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{36}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{9}=1$ ．
②由圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$ 的方程知，圆心 $\mathrm{A}_{\mathrm{K}}$ 的坐标为 $(-\mathrm{k}, 2)$ ，
$\therefore S_{\triangle A_{\mathrm{K}} F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2} \times F_{1} F_{2} \times 2=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 2=6 \sqrt{3}$ ．
（3）若 $\mathrm{k} \geq 0$ ，由 $6^{2}+0^{2}+12 \mathrm{k}-0-21=15+12 \mathrm{k}>0$ 可知点（ 6,0 ）在圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$ 外，
若 $\mathrm{k}<0$ ，由 $(-6)^{2}+0^{2}-12 \mathrm{k}-0-21=15-12 \mathrm{k}>0$ 可知点 $(-6,0)$ 在圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$ 外；
∴ 不论 k 为何值圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$ 都不能包围椭圆G。
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，同时与圆结合考查了圆的部分性质．