（14 分）已知椭圆 C: x^ 2 +2 y^ 2 =4…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【考点】IR：两点间的距离公式；K4：椭圆的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题。

【分析】（I）椭圆 C：$x^{2}+2 y^{2}=4$ 化为标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ，求出 $a, c$ ，即可求椭圆 C 的离心率；
（II）先表示出线段 AB 长度，再利用基本不等式，求出最小值．
【解答】解：（I ）椭圆 C：$x^{2}+2 y^{2}=4$ 化为标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ，
$\therefore a=2, \quad b=\sqrt{2}, \quad c=\sqrt{2}$ ，

∴ 椭圆 C 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
（II）设 $A(t, 2), B\left(x_{0}, y_{0}\right), x_{0} \neq 0$ ，则
$\because \mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$ ，
$\therefore \mathrm{tx}_{0}+2 \mathrm{y}_{0}=0, \quad \therefore \mathrm{t}=-\frac{2 \mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}}$ ，
$\because x_{0}{ }^{2}+2 y_{0}{ }^{2}=4$,

$$ \begin{aligned} \therefore & |A B|^{2}=\left(x_{0}-t\right) \quad 2+\left(y_{0}-2\right) \quad 2=\left(x_{0}+\frac{2 y_{0}}{x_{0}}\right) \quad 2+\left(y_{0}-2\right) \\ & \quad 2=x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}+\frac{4 y_{0}{ }^{2}}{x_{0}{ }^{2}}+4=x_{0}{ }^{2}+\frac{4-x_{0}{ }^{2}}{2}+\frac{2\left(4-x_{0}{ }^{2}\right)}{x_{0}{ }^{2}}+4=\frac{x_{0}{ }^{2}}{2}+\frac{8}{x_{0}{ }^{2}}+4\left(0

因为 $\frac{x_{0}{ }^{2}}{2}+\frac{8}{x_{0}{ }^{2}} \geqslant 4\left(0∴ 线段 AB 长度的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．