（18）（本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省20…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用概率知识实际问题的能力。

解（I）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。

设事件 A 为＂采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡。
$P(A)=\frac{C_{6}^{1} C_{30}^{1}}{C_{36}^{2}}=\frac{2}{7}$
所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银行卡的概率是 $\frac{2}{7}$
（II）设事件 B 为＂采访该团 2 人中，持金卡人数与持银卡人数相等＂，
事件 $A_{1}$ 为＂采访该团 2 人中， 0 人持金卡， 0 人持银卡＂，
事件 $A_{2}$ 为＂采访该团 2 人中， 1 人持金卡， 1 人持银卡＂，

$$ \begin{aligned} P(B)= & P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \\ & =\frac{C_{21}^{2}}{C_{36}^{2}}+\frac{C_{9}^{1} C_{6}^{1}}{C_{36}^{2}} \\ & =\frac{1}{3}+\frac{3}{35} \\ & =\frac{44}{105} \end{aligned} $$

所以采访该团 2 人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是 $\frac{44}{105}$ ．

分
（19 题）本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：
（I）因为平面 $A B E F \perp$ 平面 $A B C D, B C \subset$ 平面 $A B C D, B C \perp A B$ ，
平面 $A B E F$ I 平面 $A B C D=A B$
所以 $B C \perp$ 平面 $A B E F$

因为 $\triangle A B E$ 为等腰直角三角形，$A B=A E$ ，
所以 $\angle F E B=45^{0}+45^{0}=90^{0}$
即 $E F \perp B E$
因为 $B C \subset$ 平面 $B C E, B E \subset$ 平面 $B C E$
$B C$ । $B E=B$ ，
所以 $E F \perp$ 平面 $B C E$
（II）取 BE 的中点 N ，连结 $C N, M N$ ，则 $M N=\frac{1}{2} A B=P C$ ，
所以 $P M N C$ 为平行四边形，所以 $P M / / C N$
因为 $C N$ 在平面 $B C E$ 内，$P M$ 不在平面 $B C E$ 内，
所以 $P M / /$ 平面 $B C E$
（III）由 $E A \perp A B$ ，平面 $A B E F \perp$ 平面 $A B C D$ ，易知 $E A \perp$ 平面 $A B C D$ ．

作 $F G \perp A B$ 交 $B A$ 的延长线与 $G$ 则，$F G / / E A$ ，从而，$F G \perp$ 平面 $A B C D$ ．
作 $G H \perp B D$ 于 $H$ ，连结 $F H$ ，则由三垂线定理知，$B D \perp F H$ 。
因此 $\angle F H G$ 为二面角 $F-B D-A$ 的平面角
因此 $F A=F E, \angle A E F=45^{\circ}$ ，
所以 $\angle A F E=90^{\circ}, \angle F A G=45^{\circ}$ ，
设 $A B=1$ ，则 $A E=1, A F=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$F G=A F \cdot \sin F A G=\frac{1}{2}$
在 Rt $\triangle \mathrm{BGH}$ 中 $\angle \mathrm{GBH}=45^{\circ}, \mathrm{BG}=\mathrm{AB}+\mathrm{AG}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ 。
$\mathrm{GH}=\mathrm{BG} \cdot \sin G B H=\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
在 Rt $\triangle \mathrm{FGH}$ 中， $\tan F H G=\frac{F G}{G H}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
故二面角 F－BD－A 的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{2}}{3}$

解法二：
（I）因为 $\triangle \mathrm{ABE}$ 为等腰直角三角形， $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}$ ，
所以 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{AB}$ ，
又因为平面 $\mathrm{ABEF} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AE} \subset$ 平面 ABEF
平面 $\mathrm{ABEF} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{AB}$
所以 $\mathrm{AE} \perp$ 平面 ABCD
所以 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{AD}$

因此， $\mathrm{AD}, \mathrm{AB}, \mathrm{AE}$ 两两垂直，建立如图所示的直角坐
标系 $A-x y z$ 。
设 $\mathrm{AB}=1$ ，则 $\mathrm{AE}=1, \mathrm{~B}(0,1,0), \mathrm{D}(1,0,0)$ ，
$\mathrm{E}(0,0,1), \mathrm{C}(1,1,0)$

因为 $\mathrm{FA}=\mathrm{FE}, \angle \mathrm{AEF}=45^{0}$ ，

所以 $\angle \mathrm{AEF}=90^{\circ}$ ．
从而， $\mathrm{F}\left(0,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
$\overrightarrow{E F}=\left(0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right), \overrightarrow{B E}=(0,-1,1), \overrightarrow{B C}=(1,0,0)$.
$\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B E}=0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0, \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B C}=0$
所以 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{BE}, \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC}$ ．
因为 $\mathrm{BE} \subset$ 平面 $\mathrm{BCE}, \mathrm{BC} \subset$ 平面 $\mathrm{BCE}, \mathrm{BC} \cap \mathrm{BE}=\mathrm{B}$ ，
所以 $\mathrm{EF} \perp$ 平面 BCE ．
（II） $\mathrm{M}\left(0,0, \frac{1}{2}\right) . \mathrm{P}\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$ ．
从而 $\overrightarrow{P M}=\left(-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
于是 $\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{E F}=\left(-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot\left(0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=0$
所以 $\mathrm{PM} \perp \mathrm{FE}$ ，又 $\mathrm{EF} \perp$ 平面 BCE ，直线 PM 不在平面 BCE 内，故 $\mathrm{PM} / /$ 平面 BCE ．
（III）设平面 BDF 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}$ ，并设 $\overrightarrow{n_{1}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$
$\overrightarrow{B D}=(1,-1,0), \overrightarrow{B F}=\left(0,-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{B D}=0 \\ \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{B F}=0\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\ -\frac{3}{2} y+\frac{1}{2} z=0\end{array}\right.$
去 $\mathrm{y}=1$ ，则 $\mathrm{x}=1, \mathrm{z}=3$ ，从 $\overrightarrow{n_{1}}=(0,0,3)$
取平面 ABD 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=(0,0,1)$
$\cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{3}{\sqrt{11} \cdot 1}=\frac{3 \sqrt{11}}{11}$
故二面角 F－BD－A 的大小为 $\arccos \frac{3 \sqrt{11}}{11}$ ．