（4分）（2016•浙江）设双曲线 x^ 2 - y^ 2…——2016 高考数学第 13 题答案解析

【分析】由题意画出图形，以 P 在双曲线右支为例，求出 $\angle \mathrm{PF}_{2} \mathrm{~F}_{1}$ 和 $\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 为直角时 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|$的值，可得 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 为锐角三角形时 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|$ 的取值范围。
【解答】解：如图，
由双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，得 $a^{2}=1, b^{2}=3$ ，

$\therefore c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2$ ．
不妨以 P 在双曲线右支为例，当 $\mathrm{PF}_{2} \perp \mathrm{x}$ 轴时，
把 $x=2$ 代入 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，得 $y= \pm 3$ ，即 $\left|P F_{2}\right|=3$ ，
此时 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\left|\mathrm{PF}_{2}\right|+2=5$ ，则 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=8$ ；
由 $\mathrm{PF}_{1} \perp \mathrm{PF}_{2}$ ，得 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|^{2}+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|^{2}=\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|^{2}=4 \mathrm{c}^{2}=16$ ，
又 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|-\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2$ ，（1）
两边平方得：$\left|P F_{1}\right|^{2}+\left|P F_{2}\right|^{2}-2\left|P F_{1}\right|\left|P F_{2}\right|=4$ ，
$\therefore\left|\mathrm{PF}_{1}\right|\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=6$ ，（2）
联立（1）（2）解得：$\left|P F_{1}\right|=1+\sqrt{7},\left|P F_{2}\right|=-1+\sqrt{7}$ ，
此时 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=2+\sqrt{7}$ 。
∴ 使 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 为锐角三角形的 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|+\left|\mathrm{PF}_{2}\right|$ 的取值范围是（ $2 \sqrt{7}, 8$ ）。
故答案为：$(2 \sqrt{7}, 8)$ 。

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题。