（14分）（2015 • 广东）设数列 a_ n 的前 n…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（14分）（ $2015 \cdot$ 广东）设数列
$\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．已知 $a_{1}=1, a_{2}=\frac{3}{2}, a_{3}=\frac{5}{4}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n+2}+5 S_{n}=8 S_{n+1}+S_{n-1}$
（1）求 $\mathrm{a}_{4}$ 的值；
（2）证明：$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 为等比数列；
（3）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。
【考点】数列递推式。
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）直接在数列递推式中取 $\mathrm{n}=2$ ，求得 $\mathrm{a}_{4}=\frac{7}{8}$ ；
②由 $4 S_{n+2}+5 S_{n}=8 S_{n+1}+S_{n-1} ~(n \geq 2) ~$ ，变形得到 $4 a_{n+2}+a_{n}=4 a_{n+1} ~(n \geq 2) ~$ ，进一步得到
$\frac{a_{n+2}-\frac{1}{2} a_{n+1}}{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}}=\frac{1}{2}$ ，由此可得数列 $\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 是以 $a_{2}-\frac{1}{2} a_{1}$ 为首项，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比
数列；
③由 $\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 是以 $a_{2}-\frac{1}{2} a_{1}$ 为首项，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，可得
$a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ．进一步得到 $\frac{a_{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}-\frac{a_{n}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=4$ ，说明 $\left\{\frac{a_{n}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}\right\}$ 是以 $\frac{\mathrm{a}_{1}}{\frac{1}{2}}=2$ 为首项， 4 为公差的等差数列，由此可得数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。
【解答】（1）解：当 $n=2$ 时， $4 S_{4}+5 S_{2}=8 S_{3}+S_{1}$ ，即
$4\left(1+\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+a_{4}\right)+5\left(1+\frac{3}{2}\right)=8\left(1+\frac{3}{2}+\frac{5}{4}\right)+1$ ，
解得：$a_{4}=\frac{7}{8}$ ；
（2）证明：$\because 4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}+2}+5 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=8 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}+1}+\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1} ~(\mathrm{n} \geq 2) ~, ~ \therefore 4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}+2}-4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}+1}+\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-\mathrm{S}_{\mathrm{n}-1}=4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}+1}-4 \mathrm{~S}_{\mathrm{n}} ~(\mathrm{n} \geq 2)$ ，
即 $4 a_{n+2}+a_{n}=4 a_{n+1} ~(n \geq 2) ~, ~$
$\because 4 a_{3}+a_{1}=4 \times \frac{5}{4}+1=6=4 a_{2}, \quad \therefore 4 a_{n+2}+a_{n}=4 a_{n+1}$ ．

$\because \frac{a_{n+2}-\frac{1}{2} a_{n+1}}{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}}=\frac{4 a_{n+2}-2 a_{n+1}}{4 a_{n+1}-2 a_{n}}=\frac{4 a_{n+1}-a_{n}-2 a_{n+1}}{4 a_{n+1}-2 a_{n}}=\frac{2 a_{n+1}-a_{n}}{2\left(2 a_{n+1}-a_{n}\right)}=\frac{1}{2}$.
∴ 数列 $\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 是以 $a_{2}-\frac{1}{2} a_{1}=1$ 为首项，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列；
（3）解：由②知，$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}\right\}$ 是以 $a_{2}-\frac{1}{2} a_{1}$ 为首项，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列，
$\therefore a_{n+1}-\frac{1}{2} a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ．
即 $\frac{a_{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}-\frac{a_{n}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=4$ ，
$\therefore\left\{\frac{a_{n}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}\right\}$ 是以 $\frac{a_{1}}{\frac{1}{2}}=2$ 为首项， 4 为公差的等差数列，
$\therefore \frac{a_{n}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=2+(n-1) \times 4=4 n-2$ ，即
$a_{n}=(4 n-2) \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n}(2 n-1) \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$,
∴ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $a_{n}=(2 n-1) \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 。
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题。