（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】（解法一）主要依乙所验的次数分类，并求出每种情况下被验中的概率，再求甲种方案的次数不少于乙种次数的概率；
（解法二）先求所求事件的对立事件即甲的次数小于乙的次数，再求出它包含的两个事件＂甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了 3 次＂的概率 ，再代入对立事件的概率公式求解。

【解答】解：（解法一）：主要依乙所验的次数分类：
若乙验两次时，有两种可能：
（1）先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：

$\frac{C_{4}^{2} \mathrm{~A}_{3}^{3}}{\mathrm{~A}_{5}^{3}} \times \frac{1}{\mathrm{~A}_{3}^{1}}=\frac{6 \times 6}{3 \times 4 \times 5} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}$（也可以用 $\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{3}} \times \frac{1}{\mathrm{C}_{3}^{1}}=\frac{6}{10} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{5}$ ）
（2）先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束）
$\frac{\mathrm{A}_{4}^{3} \mathrm{~A}_{2}^{1}}{\mathrm{~A}_{5}^{3} \mathrm{~A}_{2}^{2}}=\frac{24}{5 \times 3 \times 4}=\frac{2}{5} \quad\left(\frac{\mathrm{C}_{4}^{3}}{\mathrm{C}_{5}^{3}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\right)$
∴ 乙只用两次的概率为 $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ ．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴ 在三次验出时概率为 $\frac{2}{5}$
∴ 甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
$\frac{3}{5} \times\left(1-\frac{1}{5}\right)+\frac{2}{5}\left(1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{25}+\frac{6}{25}=\frac{18}{25}$
（解法二）：设 $A$ 为甲的次数不小于乙的次数，则 $\bar{A}$ 表示甲的次数小于乙的次数

则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了 3 次。
则设 $A_{1}, A_{2}$ 分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为 $B$
则 $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)=\frac{1}{\mathrm{C}_{5}^{1}}=\frac{1}{5}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right)=\frac{\mathrm{A}_{4}^{1}}{\mathrm{~A}_{5}^{2}}=\frac{1}{5}, \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{3}}\left(1-\frac{1}{\mathrm{C}_{3}^{1}}\right)=\frac{6}{10} \times \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$
$\therefore \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{5}+\frac{1}{5} \times \frac{2}{5}=\frac{7}{25}$
$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\frac{7}{25}=\frac{18}{25}$
【点评】本题考查了用计数原理来求事件的概率，并且所求的事件遇过于复杂的，要主动去分析和应用对立事件来处理。