设 O 为坐标原点，直线 x=a 与双曲线 C: x^ 2…——2020 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B
【解析】
【分析】
因为 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，可得双曲线的渐近线方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，与直线 $x=a$ 联立方程求得 $D, E$ 两点坐标，即可求得 $|E D|$ ，根据 $\triangle O D E$ 的面积为 8 ，可得 $a b$ 值，根据 $2 c=2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ，结合均值不等式，即可求得答案．

【详解】 $\because C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$
∴ 双曲线的渐近线方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$
∵ 直线 $x=a$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点
不妨设 $D$ 为在第一象限，$E$ 在第四象限

联立 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=b\end{array}\right.$
故 $D(a, b)$
联立 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=-\frac{b}{a} x\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=a \\ y=-b\end{array}\right.$
故 $E(a,-b)$
$\therefore|E D|=2 b$
$\therefore \triangle O D E$ 面积为：$S_{\triangle O D E}=\frac{1}{2} a \times 2 b=a b=8$
∵ 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$
∴ 其焦距为 $2 c=2 \sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq 2 \sqrt{2 a b}=2 \sqrt{16}=8$
当且仅当 $a=b=2 \sqrt{2}$ 取等号
$\therefore C$ 的焦距的最小值： 8
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．