（5分）已知 F_ 1 (-1,0), F_ 2 (1,0…——2013 高考数学第 8 题答案解析

【考点】K3：椭圆的标准方程．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，根据题意可得 $\sqrt{a^{2}-b^{2}}=1$ ．再由 $A B$ 经过右焦点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴且 $|A B|=3$ 算出 $A$ 、 $B$ 的坐标，代入椭圆方程得 $\frac{1^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}{b^{2}}=1$ ，两式联解即可算出 $a^{2}=4, ~ b^{2}=3$ ，从而得到椭圆 $C$ 的方程。

【解答】解：设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，
可得 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=1$ ，所以 $a^{2}-b^{2}=1 \ldots$①
$\because A B$ 经过右焦点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴，且 $|A B|=3$
∴ 可得 $A\left(1, \frac{3}{2}\right), B\left(1,-\frac{3}{2}\right)$ ，代入椭圆方程得 $\frac{1^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}{b^{2}}=1$ ，

联解①②，可得 $a^{2}=4, b^{2}=3$
∴ 椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
故选：C．
【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．