（10分）已知等差数列 a_ n 中， a_ 3 a_ 7…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和．
【专题】34：方程思想．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于 $a_{1}$ ，$d$ 的方程组，求出 $a_{1} , d$ ，进而代入等差数列的前 $n$ 项和公式求解即可。

【解答】解：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\left(a_{1}+2 d\right)\left(a_{1}+6 d\right)=-16 \\ a_{1}+3 d+a_{1}+5 d=0\end{array}\right.$ ，
即 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}^{2}+8 d a_{1}+12 d^{2}=-16 \\ a_{1}=-4 d\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=-8 \\ d=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=8 \\ d=-2\end{array}\right.$ ，
因此 $S_{n}=-8 n+n ~(n-1) ~=n ~(n-9) ~$ ，或 $S_{n}=8 n-n ~(n-1) ~=-n ~(n-9) ~$ ．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。