（本小题满分 13 分） 已知椭圆 x^ 2 a^ 2 +…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【答案】①$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ；②$y=-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{1}{2} x-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

## 【解析】

试题分析：（1）由题意可得 $\left\{\begin{array}{c}b=\sqrt{3} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2} \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$ ，解出 $a, b$ 的值，即可求出椭圆的方程；
②由题意可得以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ ，利用点到直线的距离公式得：圆心到直线 $l$ 的距离 $d<1$ ，可得 $m$ 的取值范围，利用弦长公式可得 $|C D|=2 \sqrt{1-d^{2}}$ ，设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，把直线 $l$ 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长 $|A B|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}$ ，由 $\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，即可解得 $a$ 的值．

试题解析：（1）由题意可得 $\left\{\begin{array}{c}b=\sqrt{3} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2} \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$
解得 $a=2, b=\sqrt{3}, c=1$
∴ 椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
②由题意可得以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=1$
∴ 圆心到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$
由 $d<1$ ，即 $\frac{2|m|}{\sqrt{5}}<1$ ，可得 $|m|<\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\therefore|C D|=2 \sqrt{1-d^{2}}=2 \sqrt{1-\frac{4 m^{2}}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}} \sqrt{5-4 m^{2}}$
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2} x+m \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$
整理得 $x^{2}-m x+m^{2}-3=0$
可得：$x_{1}+x_{2}=m, x_{1} x_{2}=m^{2}-3$
$\therefore|A B|=\sqrt{1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{m^{2}-4\left(m^{2}-3\right)}=\frac{\sqrt{15}}{2} \sqrt{4-m^{2}}$
$\because \frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
$\therefore \frac{\sqrt{4-m^{2}}}{\sqrt{5-4 m^{2}}}=1$
解方程得 $m= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，且满足 $|m|<\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴ 直线 $l$ 的方程为 $y=-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{1}{2} x-\frac{\sqrt{3}}{3}$
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．