20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l: y=-\frac{1}{2} x+m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程．
参考答案(1) $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$; (2) $y=-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{1}{2} x-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．