22．（本小题满分 14 分）
如图，已知圆 $G:(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1$ 的内接 $\triangle A B C$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点
（1）求圆 $G$ 的半径 $r$ ；
（2）过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E, F$两点，证明：直线 $E F$ 与圆 $G$ 相切．
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
（本小题满分 14 分） 如图，已知圆 G:(x-2)^…——2009 高考数学第 22 题答案解析
2009_退役省自主命题 (2009·文)
完整解析 · 逐步详解
【解答】
解：
①设 $B\left(2+r, y_{0}\right)$ ，过圆心 $G$ 作 $G D \perp A B$ 于 $D, B C$ 交长轴于 $H$
由 $\frac{G D}{A D}=\frac{H B}{A H}$
得 $\frac{r}{\sqrt{36-r^{2}}}=\frac{y_{0}}{6+r}$ ，
即 $y_{0}=\frac{r \sqrt{6+r}}{\sqrt{6-r}}$
而点 $B\left(2+r, y_{0}\right)$ 在椭圆上，
$$ y_{0}^{2}=1-\frac{(2+r)^{2}}{16}=\frac{12-4 r-r^{2}}{16}=-\frac{(r-2)(r+6)}{16} $$
由①、②式得 $15 r^{2}+8 r-12=0$ ，解得 $r=\frac{2}{3}$ 或 $r=-\frac{6}{5}$（舍去）
②设过点 $\mathrm{M}(0,1)$ 与圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=\frac{4}{9}$ 相切的直线方程为：$y-1=k x$
则 $\frac{2}{3}=\frac{|2 k+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}$ ，即 $32 k^{2}+36 k+5=0$
解得 $k_{1}=\frac{-9+\sqrt{41}}{16}, k_{2}=\frac{-9-\sqrt{41}}{16}$
将（3）代入 $\frac{x^{2}}{16}+y^{2}=1$ 得 $\left(16 k^{2}+1\right) x^{2}+32 k x=0$ ，则异于零的解为 $x=-\frac{32 k}{16 k^{2}+1}$
设 $F\left(x_{1}, k_{1} x_{1}+1\right), E\left(x_{2}, k_{2} x_{2}+1\right)$ ，则 $x_{1}=-\frac{32 k_{1}}{16 k_{1}^{2}+1}, x_{2}=-\frac{32 k_{2}}{16 k_{2}^{2}+1}$
则直线 $F E$ 的斜率为：$k_{E F}=\frac{k_{2} x_{2}-k_{1} x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{k_{1}+k_{2}}{1-16 k_{1} k_{2}}=\frac{3}{4}$
于是直线 $F E$ 的方程为：$y+\frac{32 k_{1}^{2}}{16 k_{1}^{2}+1}-1=\frac{3}{4}\left(x+\frac{32 k_{1}}{16 k_{1}^{2}+1}\right)$
即 $y=\frac{3}{4} x-\frac{7}{3}$
则圆心 $(2,0)$ 到直线 $F E$ 的距离 $d=\frac{\left|\frac{3}{2}-\frac{7}{3}\right|}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{2}{3}$
故结论成立．
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_退役省自主命题 (2009·文) · 第 22 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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