2012_退役省自主命题 (2012·文)
16．对于 $n \hat{i} \mathrm{~N}^{*}$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_{k}^{\prime} 2^{k}+a_{k-1}^{\prime} 2^{k-1}+\mathrm{L}+a_{1}^{\prime} 2^{1}+a_{0}^{\prime} 2^{0}$ ，当 $i=k$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $0 £ i £ k-1$ 时，$a_{i}$ 为 0 或 1 ．定义 $b_{n}$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_{0}, a_{1}, a_{2} \mathrm{~L}, a_{k}$ 中等于 1 的个数为奇数时，$b_{n}=1$ ；否则 $b_{n}=0$ ．
①$b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）记 $c_{m}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中第 $m$ 个为 0 的项与第 $m+1$ 个为 0 的项之间的项数，则 $c_{m}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$。
## 【答案】（1）3；（2） 2
【解析】（1）因 $2=10_{(2)}, \therefore b_{2}=1 ; 4=100_{(2)}, \therefore b_{4}=1 ; 6=110_{(2)}, \therefore b_{6}=0 ; 8=1000_{(2)}$ ， $\therefore b_{8}=1$ ，故 $b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=3$ ；校对与解析：邓永生 QQ： 4474986
②由题可知 $1,2,3,4,5,6,7,8,9, \cdots \cdots$ ，用二进制表示为 $1,10,11,100,101$ ， $110,111,1000,1001,1010,1011$ ，则对应的 $\left\{b_{n}\right\}$ 依次为 $1,1,0,1,0,0,1,1,0$ ， $0,1, \cdots \cdots$ ，可知 $\left\{b_{n}\right\}$ 中为 0 的项取决于最后两位数字，①如果 $c_{m}$ 表示的第 $m$ 个为 0 的项为 $b_{n}: \underbrace{1101 \cdots 0}_{2 k \uparrow 1}$ 则 $b_{n+1}: \underbrace{1101 \cdots 0}_{2 k \uparrow 1}$ 1，即 $b_{n+1}=1 ; ~ b_{n+2}: ~ \underbrace{1101 \cdots 10}_{2 k \uparrow 1}$ ，即 $b_{n+2}=1 ; ~ b_{n+3}$ ： $\underbrace{1101 \cdots 11}_{2 k \uparrow 1}$ ，即 $b_{n+3}=0$ ；中间有 2 项；（2）如果 $c_{m}$ 表示的第 $m$ 个为 0 的项为 $b_{n}: \underbrace{1101 \cdots 01}_{2 k-1 \uparrow 1}$则 $b_{n+1}: \underbrace{1101 \cdots 10}_{2 k-1 \uparrow 1}$ ，即 $b_{n+1}=0$ ；中间有 0 项；（3）如果 $c_{m}$ 表示的第 $m$ 个为 0 的项为 $b_{n}$ ：
则 $b_{n+1}=1$ ，有 $b_{n+2}=0$ ，中间有 1 项；（4）如果 $c_{m}$ 表示的第 $m$ 个为 0 的项为 $b_{n}: \underbrace{1101 \cdots 10}_{2 k-1 \uparrow 1}$ ，则 $b_{n+1}: \underbrace{1101 \cdots 11}_{2 k-1 \uparrow 1}$ ，即 $b_{n+1}=1 ; ~ b_{n+2}: ~ \underbrace{1101 \cdots 0}_{7 \uparrow 1} 0$ ，即若前有偶数个 1 则 $b_{n+2}=0$ ；中间有 1 项；前有奇数个 1 ，则 $b_{n+2}=1$ ，有 $b_{n+3}=0$ ，中间有 2 项；综上可知，$c_{m}$ 的最大值是 2。
## 【考点定位】数列的综合应用．
三．