（12分）已知数列 a_ n 满足 a_ 1 =1, a_…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．
【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=$常数，又首项不为 0 ，所以为等比数列；

再根据等比数列的通项化式，求出 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）将 $\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}$ 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证

明不等式。
【解答】证明（I）$\frac{a_{n+1}+\frac{1}{2}}{a_{n}+\frac{1}{2}}=\frac{3 a_{n}+1+\frac{1}{2}}{a_{n}+\frac{1}{2}}=\frac{3\left(a_{n}+\frac{1}{2}\right)}{a_{n}+\frac{1}{2}}=3$ ，
$\because a_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \neq 0$ ，
∴ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right\}$ 是以首项为 $\frac{3}{2}$ ，公比为 3 的等比数列；
$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \times 3^{\mathrm{n}-1}=\frac{3^{\mathrm{n}}}{2}$ ，即 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{3^{\mathrm{n}}-1}{2}$ ；
（II）由（I）知 $\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{3^{n}-1}$ ，
当 $n \geq 2$ 时，$\because 3^{n}-1>3^{n}-3^{n-1}, \quad \therefore \frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{3^{n}-1}<\frac{2}{3^{n}-3^{n-1}}=\frac{1}{3^{n-1}}$ ，
∴ 当 $\mathrm{n}=1$ 时，$\frac{1}{\mathrm{a}_{1}}=1<\frac{3}{2}$ 成立，
当 $n \geq 2$ 时，$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{3^{n-1}}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)<\frac{3}{2}$ ．
$\therefore$ 对 $n \in N_{+}$时，$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列 ，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．