2014 高考数学第 17 题答案解析

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+1$ ．
（I）证明 $\left\{a_{n}+\frac{1}{2}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．