2015_退役省自主命题 (2015·文)
18．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
【答案】（I ）$a_{n}=2^{n-1}$（II）$\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}$
## 【解析】
（I）由题设可知 $a_{1} \cdot a_{4}=a_{2} \cdot a_{3}=8$ ，
又 $a_{1}+a_{4}=9$ ，可解的 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ a_{4}=8\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=8 \\ a_{4}=1\end{array}\right.$（舍去）
由 $a_{4}=a_{1} q^{3}$ 得公比 $q=2$ ，故 $a_{n}=a_{1} q^{n-1}=2^{n-1}$ ．
（II）$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$
又 $b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}=\frac{S_{n+1}-S_{n}}{S_{n} S_{n+1}}=\frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n+1}}$
所以 $T_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=\left(\frac{1}{S_{1}}-\frac{1}{S_{2}}\right)+\left(\frac{1}{S_{2}}-\frac{1}{S_{3}}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n+1}}\right)=\frac{1}{S_{1}}-\frac{1}{S_{n+1}}$
$=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}$ ．
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前 $n$ 项和，以及利用裂项相消法求和。
【名师点睛】本题利用＂若 $m+n=p+q$ ，则 $a_{m} a_{n}=a_{p} a_{q}$＂，是解决本题的关键，同时考生发现
$b_{n}=\frac{a_{n+1}}{S_{n} S_{n+1}}=\frac{S_{n+1}-S_{n}}{S_{n} S_{n+1}}=\frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n+1}}$ 是解决本题求和的关键，本题考查了考生的基础运算能力。