（12分）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C: x^…——2011 高考数学第 21 题答案解析

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】①要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程 $\mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{2}=1$ ，根据已知中过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与 C 交于 A 、 B 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可．
②若 $A , P , B , Q$ 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．

【解答】证明：（I ）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$
椭圆C：$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$①，则直线 $A B$ 的方程为：$y=-\sqrt{2} x+1$②
联立方程可得 $4 x^{2}-2 \sqrt{2} x-1=0$ ，
则 $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \mathrm{x}_{1} \times \mathrm{x}_{2}=-\frac{1}{4}$
则 $\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}=-\sqrt{2}\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}\right)+2=1$
设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}\right)$ ，
则有： $\overrightarrow{O A}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \overrightarrow{O B}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \overrightarrow{O P}=\left(p_{1}, p_{2}\right)$ ；

$\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ; \overrightarrow{O P}=\left(p_{1}, p_{2}\right)=-(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right.$ ，－ 1 ）
$\therefore \mathrm{p}$ 的坐标为 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)$ 代入①方程成立，所以点 p 在 c 上．
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．
设线段 $A B$ 的中点坐标为 $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ ，即 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}\right)$ ，则过线段 $A B$ 的中点且垂直于 $A B$ 的直线方程为：$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ ，即 $y=\frac{\sqrt{2}}{2} x +\frac{1}{4}$ ；③
$\because \mathrm{P}$ 关于点 O 的对称点为 Q ，故 0 （ 0.0 ）为线段 PQ 的中点，
则过线段 $P Q$ 的中点且垂直于 $P Q$ 的直线方程为：$y=-\frac{\sqrt{2}}{2} \times(4)$ ；
（3）（4）联立方程组，解之得：$x=-\frac{\sqrt{2}}{8}, y=\frac{1}{8}$
（3）（4）的交点就是圆心 $\mathrm{O}_{1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{8}, \frac{1}{8}\right)$ ，
$r^{2}=\left|O_{1} P\right|^{2}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{8}\right)\right)^{2}+\left(-1-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{99}{64}$
故过 $P Q$ 两点圆的方程为：$\left(x+\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{99}{64} \ldots$⑤，
把 $y=-\sqrt{2} x+1 \ldots$（2）代入⑤，
有 $x_{1}+x_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}, y_{1}+y_{2}=1$
$\therefore \mathrm{A}$ ， B 也是在圆（5）上的．
$\therefore A , P , B , Q$ 四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．