19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求直线 BF 的斜率；
（II）设直线 BF 与椭圆交于点 $\mathrm{P}(\mathrm{P}$ 异于点 B$)$ ，故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 $\mathrm{Q}(\mathrm{Q}$ 异于点
B）直线 PQ 与 x 轴交于点 $\mathrm{M},|\mathrm{PM}|=/|\mathrm{MQ}|$ 。
（i）求 $/$ 的值；
（ii）若 $|\mathrm{PM}| \sin Đ \mathrm{BQP}=\frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ，求椭圆的方程．
参考答案见解析 解析过程： （I）$F(-c, 0)$ ，由已知 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 及 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ， 可得 $a=\sqrt{5} c, b=2 c$ ，又因为 $B(0, b)$ ， 故直线 BF 的斜率 $k=\frac{b-0}{0-(-c)}=\frac{b}{c}=2$ ． （II）设点…