19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（I）求直线 BF 的斜率；
（II）设直线 BF 与椭圆交于点 $\mathrm{P}(\mathrm{P}$ 异于点 B$)$ ，故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 $\mathrm{Q}(\mathrm{Q}$ 异于点
B）直线 PQ 与 x 轴交于点 $\mathrm{M},|\mathrm{PM}|=/|\mathrm{MQ}|$ 。
（i）求 $/$ 的值；
（ii）若 $|\mathrm{PM}| \sin Đ \mathrm{BQP}=\frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ，求椭圆的方程．
参考答案见解析 解析过程： （I）$F(-c, 0)$ ，由已知 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 及 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ， 可得 $a=\sqrt{5} c, b=2 c$ ，又因为 $B(0, b)$ ， 故直线 BF 的斜率 $k=\frac{b-0}{0-(-c)}=\frac{b}{c}=2$ ． （II）设点 $P\left(x_{P}, y_{P}\right), Q\left(x_{Q}, y_{Q}\right), M\left(x_{M}, y_{M}\right)$ ， （i）由（I）可得椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{5 c^{2}}+\frac{y^{2}}{4 c^{2}}=1$ ， 直线 BF 的方程为 $y=2 x+2 c$ ， 两方程联立消去 y 得 $3 x^{2}+5 c x=0$ ，解得 $x_{P}=-\frac{5 c}{3}$ ． 因为 $B Q \perp B P$ ，所以直线 $B Q$ 方程为 $y=-\frac{1}{2} x+2 c$ ， 与椭圆方程联立消去 y 得 $21 x^{2}-40 c x=0$ ， 解得 $x_{Q}=\frac{40 c}{21}$ ．又因为 $\lambda=\frac{|P M|}{|M Q|}$ ， 及 $x_{M}=0$ 得 $\lambda=\frac{\left|x_{M}-x_{P}\right|}{\left|x_{Q}-x_{M}\right|}=\frac{\left|x_{P}\right|}{\left|x_{Q}\right|}=\frac{7}{8}$ ． （ii）由（i）得 $\frac{|P M|}{|M Q|}=\frac{7}{8}$ ， 所以 $\frac{|P M|}{|P M|+|M Q|}=\frac{7}{7+8}=\frac{7}{15}$ ，即 $|P Q|=\frac{15}{7}|P M|$ ， 又因为 $|P M| \sin Đ B Q P=\frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ， 所以 $|B P|=|P Q| \sin Đ B Q P=\frac{15}{7}|P M| \sin Đ B Q P=\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ ． 又因为 $y_{P}=2 x_{P}+2 c=-\frac{4}{3} c$ ， 所以 $|B P|=\sqrt{\left(0+\frac{5 c}{3}\right)^{2}+\left(2 c+\frac{4 c}{3}\right)^{2}}=\frac{5 \sqrt{5}}{3} c$ ， 因此 $\frac{5 \sqrt{5}}{3} c=\frac{5 \sqrt{5}}{3}, c=1$ ，所以椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．