（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C : x^ 2 a^…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
解：
（1）
椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
设两个切点分别为 $A , B$
②①当两条切线中有一条斜率不存在时，即 $A , B$ 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，$P$ 点坐标为 $( \pm 3, \pm 2)$
②当两条切线斜率均存在时，
设椭圆切线斜率为 k ，过点 P 的椭圆切线方程为 $\mathrm{y}-\mathrm{y}_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$
联立 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-\mathrm{y}_{0}=k\left(x-x_{0}\right) \\ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ ，得
$\left(9 k^{2}+4\right) x^{2}+\left(18 k y_{0}-18 k^{2} x_{0}\right) x+9 k^{2} x_{0}^{2}-18 k x_{0} y_{0}+9 y_{0}^{2}-36=0$
$\Delta=0 \Rightarrow 9 k^{2}+4=\left(k x_{0}-y_{0}\right)^{2} \Rightarrow\left(x_{0}^{2}-9\right) k^{2}-2 x_{0} y_{0} k+y_{0}^{2}-4=0$
设 $P A , P B$ 斜率分别为 $k_{1} , k_{2}$ ，则 $k_{1} \bullet k_{2}=\frac{y_{0}^{2}-4}{x_{0}^{2}-9}$
又 $P A , P B$ 互相垂直，$\therefore k_{1} \bullet k_{2}=\frac{y_{0}^{2}-4}{x_{0}^{2}-9}=-1$
化简得 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=13\left(x_{0} \neq \pm 3\right)$
又 $\because P( \pm 3, \pm 2)$ 在 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=13$ 上
∴ 点 $P$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=13$ 上．