（19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 x^ 2 a^…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的

性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分 14 分．
（I）解：设椭圆的焦距为 $2 c$ ，由已知得 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}$ ，又由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，可得 $2 a=3 b$ ．由
$|A B|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}$ ，从而 $a=3, b=2$ 。
所以，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
（II）解：设点 $P$ 的坐标为 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，点 $M$ 的坐标为 $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，由题意，$x_{2}>x_{1}>0$ ，
点 $Q$ 的坐标为 $\left(-x_{1},-y_{1}\right)$ ．由 $\triangle B P M$ 的面积是 $\triangle B P Q$ 面积的2倍，可得 $|P M|=2|P Q|$ ，
从而 $x_{2}-x_{1}=2\left[x_{1}-\left(-x_{1}\right)\right]$ ，即 $x_{2}=5 x_{1}$ 。
易知直线 $A B$ 的方程为 $2 x+3 y=6$ ，由方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=6, \\ y=k x,\end{array}\right.$ 消去 $y$ ，可得 $x_{2}=\frac{6}{3 k+2}$ ．由方程组
$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1, \text { 消去 } y, \text { 可得 } x_{1}=\frac{6}{\sqrt{9 k^{2}+4}} . \text { 由 } x_{2}=5 x_{1} \text { ，可得 } \sqrt{9 k^{2}+4}=5(3 k+2) \text { ，两边平方，整理得 } \\ y=k x,\end{array}\right. 18 k^{2}+25 k+8=0$ ，解得 $k=-\frac{8}{9}$ ，或 $k=-\frac{1}{2}$ ．
当 $k=-\frac{8}{9}$ 时，$x_{2}=-9<0$ ，不合题意，舍去；当 $k=-\frac{1}{2}$ 时，$x_{2}=12, x_{1}=\frac{12}{5}$ ，符合题意．
所以，$k$ 的值为 $-\frac{1}{2}$ ．