2019_新课标 I 卷 (2019·文)
18．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{9}=-a_{5}$ ．
（1）若 $a_{3}=4$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{1}>0$ ，求使得 $S_{n} \geq a_{n}$ 的 $n$ 的取值范围．
(1) $a_{n}=-2 n+10$; (2) $1 \leq n \leq 10\left(n \in N^{*}\right)$ ．
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$a_{n}=-2 n+10$ ；
② $1 \leq n \leq 10\left(n \in N^{*}\right)$ ．
【解析】
【分析】
（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于 $a_{1}$ 和 $d$ 的方程组，求得 $a_{1}$ 和 $d$ 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有 $a_{5}=0$ ，根据 $a_{1}>0$ ，可知 $d<0$ ，根据 $S_{n}>a_{n}$ ，得到关于 $n$ 的不等式 ，从而求得结果．
【详解】设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，
根据题意有 $\left\{\begin{array}{l}9 a_{1}+\frac{9 \times 8}{2} d=-\left(a_{1}+4 d\right) \\ a_{1}+2 d=4\end{array}\right.$ ，
解答 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=8 \\ d=-2\end{array}\right.$ ，所以 $a_{n}=8+(n-1) \times(-2)=-2 n+10$ ，
所以等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=-2 n+10$ ；
②由条件 $S_{9}=-a_{5}$ ，得 $9 a_{5}=-a_{5}$ ，即 $a_{5}=0$ ，
因为 $a_{1}>0$ ，所以 $d<0$ ，并且有 $a_{5}=a_{1}+4 d=0$ ，所以有 $a_{1}=-4 d$ ，
由 $S_{n} \geq a_{n}$ 得 $n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d \geq a_{1}+(n-1) d$ ，整理得 $\left(n^{2}-9 n\right) d \geq(2 n-10) d$ ，
因为 $d<0$ ，所以有 $n^{2}-9 n \leq 2 n-10$ ，即 $n^{2}-11 n+10 \leq 0$ ，
解得 $1 \leq n \leq 10$ ，
所以 $n$ 的取值范围是： $1 \leq n \leq 10\left(n \in N^{*}\right)$
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键．