a_ n 为等差数列， b_ n = array l a_…——2023 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①$a_{n}=2 n+3$ ；

（2）证明见解析．

## 【解析】

【分析】①设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，用 $a_{1}, d$ 表示 $S_{n}$ 及 $T_{n}$ ，即可求解作答．
（2）方法1，利用①的结论求出 $S_{n}, b_{n}$ ，再分奇偶结合分组求和法求出 $T_{n}$ ，并与 $S_{n}$ 作差比较作答；方

法 2，利用①的结论求出 $S_{n}, b_{n}$ ，再分奇偶借助等差数列前 $n$ 项和公式求出 $T_{n}$ ，并与 $S_{n}$ 作差比较作答．

## 【小问 1 详解】

设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，而 $b_{n}=\left\{\begin{array}{l}a_{n}-6, n=2 k-1 \\ 2 a_{n}, n=2 k\end{array}, k \in \mathrm{~N}^{*}\right.$ ，
则 $b_{1}=a_{1}-6, b_{2}=2 a_{2}=2 a_{1}+2 d, b_{3}=a_{3}-6=a_{1}+2 d-6$ ，
于是 $\left\{\begin{array}{l}S_{4}=4 a_{1}+6 d=32 \\ T_{3}=4 a_{1}+4 d-12=16\end{array}\right.$ ，解得 $a_{1}=5, d=2, a_{n}=a_{1}+(n-1) d=2 n+3$ ，
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $a_{n}=2 n+3$ ．

## 【小问 2 详解】

方法 1：由①知，$S_{n}=\frac{n(5+2 n+3)}{2}=n^{2}+4 n, b_{n}=\left\{\begin{array}{l}2 n-3, n=2 k-1 \\ 4 n+6, n=2 k\end{array}, k \in \mathrm{~N}^{*}\right.$ ，
当 $n$ 为偶数时，$b_{n-1}+b_{n}=2(n-1)-3+4 n+6=6 n+1$ ，
$T_{n}=\frac{13+(6 n+1)}{2} \cdot \frac{n}{2}=\frac{3}{2} n^{2}+\frac{7}{2} n$ ，
当 $n>5$ 时，$T_{n}-S_{n}=\left(\frac{3}{2} n^{2}+\frac{7}{2} n\right)-\left(n^{2}+4 n\right)=\frac{1}{2} n(n-1)>0$ ，因此 $T_{n}>S_{n}$ ，
当 $n$ 为奇数时，$T_{n}=T_{n+1}-b_{n+1}=\frac{3}{2}(n+1)^{2}+\frac{7}{2}(n+1)-[4(n+1)+6]=\frac{3}{2} n^{2}+\frac{5}{2} n-5$ ，
当 $n>5$ 时，$T_{n}-S_{n}=\left(\frac{3}{2} n^{2}+\frac{5}{2} n-5\right)-\left(n^{2}+4 n\right)=\frac{1}{2}(n+2)(n-5)>0$ ，因此 $T_{n}>S_{n}$ ，
所以当 $n>5$ 时，$T_{n}>S_{n}$ ．
方法 2：由①知，$S_{n}=\frac{n(5+2 n+3)}{2}=n^{2}+4 n, b_{n}=\left\{\begin{array}{l}2 n-3, n=2 k-1 \\ 4 n+6, n=2 k\end{array}, k \in \mathrm{~N}^{*}\right.$ ，当 $n$ 为偶数时，
$T_{n}=\left(b_{1}+b_{3}+\cdots+b_{n-1}\right)+\left(b_{2}+b_{4}+\cdots+b_{n}\right)=\frac{-1+2(n-1)-3}{2} \cdot \frac{n}{2}+\frac{14+4 n+6}{2} \cdot \frac{n}{2}=\frac{3}{2} n^{2}+\frac{7}{2} n$ ，
当 $n>5$ 时，$T_{n}-S_{n}=\left(\frac{3}{2} n^{2}+\frac{7}{2} n\right)-\left(n^{2}+4 n\right)=\frac{1}{2} n(n-1)>0$ ，因此 $T_{n}>S_{n}$ ，

当 $n$ 为奇数时，若 $n \geq 3$ ，则
$T_{n}=\left(b_{1}+b_{3}+\cdots+b_{n}\right)+\left(b_{2}+b_{4}+\cdots+b_{n-1}\right)=\frac{-1+2 n-3}{2} \cdot \frac{n+1}{2}+\frac{14+4(n-1)+6}{2} \cdot \frac{n-1}{2}$
$=\frac{3}{2} n^{2}+\frac{5}{2} n-5$ ，显然 $T_{1}=b_{1}=-1$ 满足上式，因此当 $n$ 为奇数时，$T_{n}=\frac{3}{2} n^{2}+\frac{5}{2} n-5$ ，
当 $n>5$ 时，$T_{n}-S_{n}=\left(\frac{3}{2} n^{2}+\frac{5}{2} n-5\right)-\left(n^{2}+4 n\right)=\frac{1}{2}(n+2)(n-5)>0$ ，因此 $T_{n}>S_{n}$ ，
所以当 $n>5$ 时，$T_{n}>S_{n}$ ．