（13分）如图，在四棱锥 P-A B C D 中， A D…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（13分）（2017•天津）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{AD} \perp$ 平面 $\mathrm{PDC}, \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{PD} \perp \mathrm{PB}, \mathrm{AD}=1, \mathrm{BC}=3, \mathrm{CD}=4, \mathrm{PD}=2$ ．
（I）求异面直线 $A P$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

（II）求证：$P D \perp$ 平面 $P B C$ ；
（III）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．

【分析】（ I ）由已知 $A D / / B C$ ，从而 $\angle D A P$ 或其补角即为异面直线 $A P$ 与 $B C$ 所成的角，由此能求出异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值．
（II）由 $A D \perp$ 平面 $P D C$ ，得 $A D \perp P D$ ，由 $B C / / A D$ ，得 $P D \perp B C$ ，再由 $P D \perp P B$ ，得到 $P D \perp$ 平面 $P B C$ ．
（III）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F ，连结 PF ，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 A B 与平面 PBC 所成的角，由 $\mathrm{PD} \perp$ 平面 PBC ，得到 $\angle \mathrm{DFP}$ 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角，由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．

【解答】解：（I ）如图，由已知 $A D / / B C$ ，
故 $\angle \mathrm{DAP}$ 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角．
因为 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 PDC ，所以 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{PD}$ ．
在Rt $\triangle \mathrm{PDA}$ 中，由已知，得 $\mathrm{AP}=\sqrt{\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{PD}^{2}}=\sqrt{5}$ ，
故 $\cos \angle \mathrm{DAP}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AP}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
证明：（II）因为 $A D \perp$ 平面 $P D C$ ，直线 $P D \subset$ 平面 $P D C$ ，
所以 $A D \perp P D$ ．
又因为 $B C / / A D$ ，所以 $P D \perp B C$ ，
又 $P D \perp P B$ ，所以 $P D \perp$ 平面 $P B C$ ．
解：（III）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F ，连结 PF ，
则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角。
因为 $P D \perp$ 平面 $P B C$ ，故 $P F$ 为 $D F$ 在平面 $P B C$ 上的射影，
所以 $\angle \mathrm{DFP}$ 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角．

由于 $A D / / B C, D F / / A B$ ，故 $B F=A D=1$ ，
由已知，得 $C F=B C-B F=2$ ．又 $A D \perp D C$ ，故 $B C \perp D C$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{DCF}$ 中，可得 $\sin \angle \mathrm{DFP}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DF}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．