已知函数 f(x)= |e^ x -1 |, x_ 1 <…——2021 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $(0,1)$

【解析】

【分析】结合导数的几何意义可得 $x_{1}+x_{2}=0$ ，结合直线方程及两点间距离公式可得 $|A M|=\sqrt{1+e^{2 x_{1}}} \cdot\left|x_{1}\right|$ ，$|B N|=\sqrt{1+e^{2 x_{2}}} \cdot\left|x_{2}\right|$ ，化简即可得解．

【详解】由题意，$f(x)=\left|e^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l}1-e^{x}, x<0 \\ e^{x}-1, x \geq 0\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}-e^{x}, x<0 \\ e^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，

所以点 $A\left(x_{1}, 1-e^{x_{1}}\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, e^{x_{2}}-1\right), k_{A M}=-e^{x_{1}}, k_{B N}=e^{x_{2}}$ ，
所以 $-e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}}=-1, x_{1}+x_{2}=0$ ，
所以 $A M: y-1+e^{x_{1}}=-e^{x_{1}}\left(x-x_{1}\right), M\left(0, e^{x_{1}} x_{1}-e^{x_{1}}+1\right)$ ，
所以 $|A M|=\sqrt{x_{1}^{2}+\left(e^{x_{1}} x_{1}\right)^{2}}=\sqrt{1+e^{2 x_{1}}} \cdot\left|x_{1}\right|$ ，
同理 $|B N|=\sqrt{1+e^{2 x_{2}}} \cdot\left|x_{2}\right|$ ，
所以 $\frac{|A M|}{|B N|}=\frac{\sqrt{1+e^{2 x_{1}}} \cdot\left|x_{1}\right|}{\sqrt{1+e^{2 x_{2}}} \cdot\left|x_{2}\right|}=\sqrt{\frac{1+e^{2 x_{1}}}{1+e^{2 x_{2}}}}=\sqrt{\frac{1+e^{2 x_{1}}}{1+e^{-2 x_{1}}}}=e^{x_{1}} \in(0,1)$ ．
故答案为：$(0,1)$

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 $x_{1}+x_{2}=0$ ，消去一个变量后，运算即可得解．