14．（4分）（2008•四川）已知直线 1： $\mathrm{x}-\mathrm{y}+4=0$ 与圆 $\mathrm{C}:(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=2$ ，则 C 上各点到 1 的距离的最小值为 $\_\_\_\_$ ＿ $\sqrt{2}$。
参考答案
$\sqrt{2}$
（4分）（2008•四川）已知直线 1： x - y +4…——2008 高考数学第 14 题答案解析
2008_退役省自主命题 (2008·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
【专题】数形结合。
【分析】如图过点 C 作出 CD 与直线 $l$ 垂直，垂足为 D ，与圆 C 交于点 A ，则 AD 为所求；求 AD 的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 $l$ 的距离 d ，利用 d 减去圆的半径 r 即为圆上的点到直线 $l$ 的距离的最小值．
【解答】解：如图可知：过圆心作直线 $1: x-y+4=0$ 的垂线，则 AD 长即为所求；
∵ 圆 C：$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 的圆心为 C $(1,1)$ ，半径为 $\sqrt{2}$ ，
点 C 到直线 1：$x-y+4=0$ 的距离为 $d=\frac{|1-1+4|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$ ，
$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{CD}-\mathrm{AC}=2 \sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ ，
故 C 上各点到 1 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ．
故答案为：$\sqrt{2}$
【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点 C 到直线 $l$ 的距离距离公式。
✅ 来源：2008年 · 全国 · 2008_退役省自主命题 (2008·理) · 第 14 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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