若过点 (a, b) 可以作曲线 y= e ^ x 的两条…——2021 高考数学第 7 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果
【详解】在曲线 $y=e^{x}$ 上任取一点 $P\left(t, e^{t}\right)$ ，对函数 $y=e^{x}$ 求导得 $y^{\prime}=\mathrm{e}^{x}$ ，
所以，曲线 $y=e^{x}$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $y-e^{t}=e^{t}(x-t)$ ，即 $y=e^{t} x+(1-t) e^{t}$ ，
由题意可知，点 $(a, b)$ 在直线 $y=e^{t} x+(1-t) e^{t}$ 上，可得 $b=a e^{t}+(1-t) e^{t}=(a+1-t) e^{t}$ ，
令 $f(t)=(a+1-t) e^{t}$ ，则 $f^{\prime}(t)=(a-t) e^{t}$ ．
当 $t<a$ 时，$f^{\prime}(t)>0$ ，此时函数 $f(t)$ 单调递增，

当 $t>a$ 时，$f^{\prime}(t)<0$ ，此时函数 $f(t)$ 单调递减，
所以，$f(t)_{\text {max }}=f(a)=e^{a}$ ，
由题意可知，直线 $y=b$ 与曲线 $y=f(t)$ 的图象有两个交点，则 $b<f(t)_{\text {max }}=e^{a}$ ，
当 $t<a+1$ 时，$f(t)>0$ ，当 $t>a+1$ 时，$f(t)<0$ ，作出函数 $f(t)$ 的图象如下图所示：

由图可知，当 $0<b<e^{a}$ 时，直线 $y=b$ 与曲线 $y=f(t)$ 的图象有两个交点．
故选：D．
【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法