（13 分）设函数 f(x)=x^ 3 +a x^ 2 +…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【考点】52：函数零点的判定定理； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用。

【分析】（1）求出 $f(x)$ 的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
②由 $f(x)=0$ ，可得 $-c=x^{3}+4 x^{2}+4 x$ ，由 $g(x)=x^{3}+4 x^{2}+4 x$ ，求得导数，单调区间和极值，由－ c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；
（3）先证若 $f(x)$ 有三个不同零点，令 $f(x)=0$ ，可得单调区间有 3 个，求出导数，由导数的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，运用判别式大于 0 ，可得 $a^{2}-3 b >0$ ；再由 $a=b=4, c=0$ ，可得若 $a^{2}-3 b>0$ ，不能推出 $f(x)$ 有 3 个零点．

【解答】解：（1）函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 的导数为 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ ，

可得 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线斜率为 $k=f^{\prime}(0)=b$ ，
切点为 $(0, c)$ ，可得切线的方程为 $y=b x+c$ ；
②设 $a=b=4$ ，即有 $f(x)=x^{3}+4 x^{2}+4 x+c$ ，
由 $f(x)=0$ ，可得 $-c=x^{3}+4 x^{2}+4 x$ ，
由 $g(x)=x^{3}+4 x^{2}+4 x$ 的导数 $g^{\prime}(x)=3 x^{2}+8 x+4=(x+2)(3 x+2)$ ，
当 $x>-\frac{2}{3}$ 或 $x<-2$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 递增；
当 $-2即有 $g(x)$ 在 $x=-2$ 处取得极大值，且为 0 ；
$g(x)$ 在 $x=-\frac{2}{3}$ 处取得极小值，且为 $-\frac{32}{27}$ ．
由函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同零点，可得 $-\frac{32}{27}<-\mathrm{c}<0$ ，
解得 $0<\mathrm{c}<\frac{32}{27}$ ，
则 c 的取值范围是 $\left(0, \frac{32}{27}\right)$ ；
（3）证明：若 $f(x)$ 有三个不同零点，令 $f(x)=0$ ，
可得 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有三个不同的交点。
即有 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有 3 个单调区间，
即为导数 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，
可得 $\triangle>0$ ，即 $4 a^{2}-12 b>0$ ，即为 $a^{2}-3 b>0$ ；
若 $a^{2}-3 b>0$ ，即有导数 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，
当 $c=0, ~ a=b=4$ 时，满足 $a^{2}-3 b>0$ ，
即有 $f(x)=x(x+2)^{2}$ ，图象与 $x$ 轴交于 $(0,0),(-2,0)$ ，则 $f(x)$ 的零点为 2 个．

故 $a^{2}-3 b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件。
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．