（20）（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)= (x…——2018 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分 14 分。
（I）解：由已知，可得 $f(x)=x(x-1)(x+1)=x^{3}-x$ ，故 $f(x)=3 x-1$ ，因此 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=-1$ ，又因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y-f(0)=f^{\prime}(0)(x-0)$ ，故所求切线方程为 $x+y=0$ ．
（II）解：由已知可得
$f(x)=\left(x-t_{2}+3\right)\left(x-t_{2}\right)\left(x-t_{2}-3\right)=\left(x-t_{2}\right)^{3}-9\left(x-t_{2}\right)=x^{3}-3 t_{2} x^{2}+\left(3 t_{2}{ }^{2}-9\right) x-t_{2}{ }^{2}+9 t_{2}$.
故 $f^{\prime}(x)=3 x^{3}-6 t_{2} x+3 t_{2}{ }^{2}-9$ ．令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=t_{2}-\sqrt{3}$ ，或 $x=t_{2}+\sqrt{3}$ ．
当 $x$ 变化时，$f(x), f(x)$ 的变化如下表：

所以函数 $f(x)$ 的极大值为 $f\left(t_{2}-\sqrt{3}\right)=(-\sqrt{3})^{3}-9 \times(-\sqrt{3})=6 \sqrt{3}$ ；函数小值为 $f\left(t_{2}+\sqrt{3}\right)=(\sqrt{3})^{3}-9 \times(\sqrt{3})=-6 \sqrt{3}$ ．
（III）解：曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点等价于关于 $x$ 的方程 $\left(x-t_{2}+d\right)\left(x-t_{2}\right)$
$\left(x-t_{2}-d\right)+\left(x-t_{2}\right)+6 \sqrt{3}=0$ 有三个互异的实数解，令 $u=x-t_{2}$ ，可得 $u^{3}+\left(1-d^{2}\right) u+6 \sqrt{3}=0$ ．
设函数 $g(x)=$
$x^{3}+\left(1-d^{2}\right) x+6 \sqrt{3}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-\left(x-t_{2}\right)-6 \sqrt{3}$ 有三个互异的公共点等价于函数 $y=g(x)$ 有三个零点．
$g^{\prime}(x)=3 x^{3}+\left(1-d^{2}\right)$.

当 $d^{2} \leq 1$ 时，$g^{\prime}(x) \geq 0$ ，这时 $g^{\prime}(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，不合题意．
当 $d^{2}>1$ 时，$g^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=-\frac{\sqrt{d^{2}-1}}{\sqrt{3}}, x_{2}=\frac{\sqrt{d^{2}-1}}{\sqrt{3}}$ ．
易得，$g(x)$ 在 $\left(-\infty, x_{1}\right)$ 上单调递增，在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 上单调递减，在 $\left(x_{2},+\infty\right)$ 上单调递增，
$g(x)$ 的极大值 $g\left(x_{1}\right)=g\left(-\frac{\sqrt{d^{2}-1}}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2 \sqrt{3}\left(d^{2}-1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+6 \sqrt{3}>0$ ．
$g(x)$ 的极小值 $g\left(x_{2}\right)=g\left(\frac{\sqrt{d^{2}-1}}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2 \sqrt{3}\left(d^{2}-1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+6 \sqrt{3}$ ．
若 $g\left(x_{2}\right) \geq 0$ ，由 $g(x)$ 的单调性可知函数 $y=f(x)$ 至多有两个零点，不合题意．
若 $g\left(x_{2}\right)<0$ ，即 $\left(d^{2}-1\right)^{\frac{3}{2}}>27$ ，也就是 $|d|>\sqrt{10}$ ，此时 $|d|>x_{2}, g(|d|)=|d|+6 \sqrt{3}>0$ ，且 $-2|d|

所以 $d$ 的取值范围是 $(-\infty,-\sqrt{10}) \cup(\sqrt{10},+\infty)$ ．