若函数 f(x)=a ln x+ b x + c x^ 2…——2023 高考数学第 11 题答案解析

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x)$ ，由已知可得 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答。

【详解】函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，求导得 $f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}-\frac{b}{x^{2}}-\frac{2 c}{x^{3}}=\frac{a x^{2}-b x-2 c}{x^{3}}$ ，因为函数 $f(x)$ 既有极大值也有极小值，则函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个变号零点，而 $a \neq 0$ ，因此方程 $a x^{2}-b x-2 c=0$ 有两个不等的正根 $x_{1}, x_{2}$ ，

于是 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=b^{2}+8 a c>0 \\ x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}>0 \text { ，即有 } b^{2}+8 a c>0, a b>0, a c<0 \text { ，显然 } a^{2} b c<0 \text { ，即 } b c<0, ~ \mathrm{~A} \text { 错误，BCD } \\ x_{1} x_{2}=-\frac{2 c}{a}>0\end{array}\right.$
正确．
故选：BCD