（12分）在数列 a_ n 中， a_ 1 =1, a_…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式．
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】①由 $a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ 构造可得 $\frac{a_{n}}{2^{n-1}}-\frac{a_{n-1}}{2^{n-2}}=1$ 即数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列
②由①可求 $\frac{a_{n}}{2^{n-1}}=n$ ，从而可得 $a_{n}=n \cdot 2^{n-1}$ 利用错位相减求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的和
【解答】解：由 $a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ ．两边同除以 $2^{n}$ 得 $\frac{a_{n+1}}{2^{n}}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}+1$
$\therefore \frac{a_{n+1}}{2^{n}}-\frac{a_{n}}{2^{n-1}}=1$ ，即 $b_{n+1}-b_{n}=1$
$\therefore\left\{b_{n}\right\}$ 以 1 为首项， 1 为公差的等差数列
②由①得 $\frac{a_{n}}{2^{n-1}}=1+(n-1) \times 1=n$

$$ \begin{aligned} & \therefore a_{n}=n \cdot 2^{n-1} \\ & S_{n}=2^{0}+2 \times 2^{1}+3 \times 2^{2}+\ldots+n \cdot 2^{n-1} \\ & 2 S_{n}=2^{1}+2 \times 2^{2}+\ldots+(n-1) \cdot 2^{n-1}+n \cdot 2^{n} \\ & \therefore-S_{n}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n-1}-n \cdot 2^{n} \\ & =\frac{1-2^{n}}{1-2}-n \cdot 2^{n}=(1-n) \cdot 2^{n}-1 \\ & \therefore S_{n}=(n-1) \cdot 2^{n}+1 \end{aligned} $$

【点评】本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和 ，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握．